函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用-高考文科数学专题练习

一、填空题

πππππ

1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋3)(ω>0)，若f(6)＝f(2)，且f(x)在区间(6，2)上有最大值，无最小值，则ω＝________.

ππππ1

解析：由题意f()＝1，即ω·＋＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝

＋6k，k∈Z. 3332又π<2πω<6，故ω＝1

3ω，所以0<2. 答案：12

2．函数y＝sin(ππ

2＋x)cos(6－x)的最大值为________． 解析：y＝sin (ππ

2＋x)cos(6－x) ＝cos x·cos(π

6－x)

＝cos x(cosπ·cos x＋sinπ66·sin x)

＝cos x(3＋131

2cos x2sin x)＝2cos2x＋2sin x·cos x ＝31＋cos 2x133＋12·2＋4sin 2x＝4＋4cos 2x4sin 2x ＝31(13

4＋22sin 2x＋2cos 2x) ＝3＋1π42sin(2x＋3)，

∴当sin(2x＋π

2＋33)＝1时，ymax＝4. 答案：2＋34 3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(7π

12)＝_ _______.

2

32π2π

解析：由图象可知，2T＝π，从而T＝ω＝3，ω＝3， π3π

得f(x)＝2sin(3x＋φ)，又由f(4)＝0可取φ＝－4， 3π7π7π3π

于是f(x)＝2sin(3x－4)，则f(12)＝2sin(4－4)＝0. 答案：0

ππ

4．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点(3，0)对称，则|φ|的最小值是________．

ππ

解析：将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移4个单位后得到y＝2sin[3(x－4)＋φ]3πππ

＝2sin(3x－4＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(3，0)对称，所以2sin(3×33ππππ

－4＋φ)＝2sin(4＋φ)＝0，故有4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－4(k∈Z)．当k＝0π

时，|φ|取得最小值4. π答案：4

π

5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤|f(6)|对x∈R恒成立，且π

f(2)＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．

ππππ

解析：由?x∈R，有f(x)≤|f(6)|知，当x＝6时f(x)取最值，∴f(6)＝sin(3＋φ)＝±1，ππ∴3＋φ＝±2＋2kπ(k∈Z)，

π5π

∴φ＝6＋2kπ或φ＝－6＋2kπ(k∈Z)． π

又∵f(2)＞f(π)，∴sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，

5π

∴－sin φ＞sin φ，∴sin φ＜0.∴φ取－6＋2kπ(k∈Z)． 5π5π

不妨取φ＝－6，则f(x)＝sin(2x－6)． π5ππ

令－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ(k∈Z)，

π4π

∴3＋2kπ≤2x≤3＋2kπ(k∈Z)， π2π

∴6＋kπ≤x≤3＋kπ(k∈Z)．

π2π

∴f(x)的单调递增区间为[6＋kπ，3＋kπ](k∈Z)． π2π

答案：[kπ＋6，kπ＋3](k∈Z)

π

6．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin(x＋3)＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．

π

解析：令y1＝2sin(x＋3)，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如π

图所示，若2sin(x＋3)＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以3

π

7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期是2，直ππ线x＝3是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ<2，则函数解析式为________． π

解析：由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝3时， 4πsin (3π＋φ)＝±1，故φ＝6. π

所求解析式为y＝2sin (4x＋6)＋2. π

答案：y＝2sin (4x＋6)＋2

8．在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝asin ax(a∈R，a≠0)的一个完整周期图象，则当a变化时，矩形ABCD周长的最小值为________．

解析：根据题意，设矩形ABCD的周长为c， 4π

则c＝2(AB＋AD)＝4|a|＋|a|≥8π， 当且仅当a＝±π时取等号．

答案：8π

π

9．关于函数f(x)＝sin(2x－4)，有下列命题： π

①其表达式可写成f(x)＝cos(2x＋4)； π

②直线x＝－8是f(x)图象的一条对称轴；

π

③f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向右平移4个单位得到； ④存在α∈ (0，π)，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立． 则其中真命题的序号为________．

πππ

解析：对于①，f(x)＝sin(2x－4)＝cos[2－(2x－4)] 3

＝cos(2x－4π)，故①错；

ππππ

对于②，当x＝－8时，f(－8)＝sin[2×(－8)－4] π

＝sin(－2)＝－1，故②正确；

ππ

对于③，g(x)＝sin 2x的图象向右平移4个单位得到的图象解析式为y＝sin 2(x－4)π

＝sin(2x－2)，故③错；

π

对于④，因为f(x)的周期为π，故当α＝2时，f(x＋α)＝f(x＋3α)，所以④正确． 答案：②④ 二、解答题

π

10．已知函数f(x)＝2cos xsin(x＋3)－3sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的单调增区间；

π

(2)当x∈[0，4]时，求f(x)的值域．

π

解析：(1)f(x)＝2cos xsin(x＋3)－3sin2x＋sin xcos x 13

＝2cos x(2sin x＋2cos x)－3sin2x＋sin xcos x