山东省高中数学《3.2简单的三角恒等变换》评估训练 新人教A版必修4

高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《3.2简单的三角恒等变

换》评估训练

双基达标

限时20分钟

1．计算sin 105°cos 75°的值是( )．

1122A. B. C. D. 2424

11

解析 sin 105°cos 75°＝sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，故选B.

24答案 B

2．(2012·佛山高一检测)使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )．

πππ2π

A. B. C. D. 6323解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ) π??＝2sin?2x＋＋θ?.

3??

2

当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.

3答案 D

3．函数f(x)＝sin x－3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )． 5π??A.?－π，－? 6??

π??5π

B.?－，－?

6??6

?π?C.?－，0?

?3??π?D.?－，0?

?6?

π5??π??解析 f(x)＝2sin?x－?，f(x)的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋π?(k∈Z)，

3?66???

?π5?令k＝0得增区间为?－，π?. ?66?

答案 D 4．化简 1＋

π－θ2

?3π<θ<2π?＝________. ?2???

sin

2

解析 原式＝

1－cos θ＝ 2

θ?θ?

＝?sin ?.

2?2?

3π3θθ

∵<θ<2π，∴π<<π，∴原式＝sin . 2422

θ

答案 sin 2

5．已知函数f(x)＝asin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．

解析 ∵f(x)＝a＋1sin[(1－a)x＋φ]， 由已知得a＋1＝2，所以a＝3.

2π∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)，∴T＝＝π.

|－2|答案 π

π??22

6．已知tan?θ＋?＝3，求5sinθ－3sin θcos θ＋2cosθ的值．

4??π?π???解 tan θ＝tan??θ＋?－?

4?4???π?π?tan?θ＋?－tan

4?4?1

＝＝，

π?π2?1＋tan?θ＋?·tan 4?4?

5sinθ－3sin θcos θ＋2cosθ

∴原式＝ 22

sinθ＋cosθ5tanθ－3tan θ＋27＝＝. 2

tanθ＋15

综合提高

限时25分钟

2

2

2

7．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是( )． A．等腰三角形 C．直角三角形

B．正三角形 D．等腰直角三角形

解析 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以已知方程可化为sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.又－π

α

1＋tan

24

8．(2012·汕尾高一检测)若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )．

5α

1－tan211

A．－ B. C．2 D．－2

2243解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－. 55

αsin

2

1＋

ααααcos1＋tancos＋sin

2222

∴＝＝ αααα1－tansincos－sin2222

1－

αcos

2ααααcos＋sincos＋sin

2222＝· ααααcos－sincos＋sin

22223

1－51＋sin α1

＝＝＝－.

cos α42

－5答案 A

sin 4xcos 2xcos x9．化简··＝________.

1＋cos 4x1＋cos 2x1＋cos x解析 原式＝

2sin 2xcos 2xcos 2xcos xsin 2xcos x··＝·＝2

2cos2x1＋cos 2x1＋cos x1＋cos 2x1＋cos x2sin xcos xcos xsin xx·＝＝tan . 22cosx1＋cos x1＋cos x2答案 tan 2

10．(2012·天津高一检测)如果a＝(cos α＋sin α，2 008)，b＝(cos α－sin α，1)，1

且a∥b，那么＋tan 2α＋1的值是________．

cos 2α

cos α＋sin α

解析 由a∥b，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴＝2 008.

cos α－sin α1cos 2α

＋

tan

2α

＝

2

x1cos 2α

＝＋

sin 2αcos 2α

＝

1＋sin 2α22cosα－sinα

＝

α＋cos α

α＋sin αα－sin α∴

cos α＋sin α

＝2 008.

cos α－sin α

1

＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009.

cos 2α

答案 2 009

π?π??2?11．已知函数f(x)＝ 3sin?2x－?＋2sin?x－?(x∈R)． 6???12?(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

?π??π?解 (1)∵f(x)＝3sin 2?x－?＋1－cos 2?x－? ?12??12?

＝2?

?3?π?1?π??sin 2?x－?－cos 2?x－??＋1

?12?2?12???2

π?π???x－2＝2sin???－?＋1 ??12?6?

π?2π?＝2sin?2x－?＋1，∴T＝＝π. 3?2?π??(2)当f(x)取得最大值时，sin?2x－?＝1，

3??ππ5π

有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，

3212

??5π

∴所求x的集合为?x|x＝kπ＋，k∈Z?.

12??

12．(创新拓展)已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，82?θπ?且|m＋n|＝，求cos?＋?的值．

5?28?

解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m＋n|＝＝4＋22＝2

θ－sin θ＋2θ－sin θ

＝

2

＋θ＋sin θ

2

π??4＋4cos?θ＋?

4??

π??1＋cos?θ＋?.

4??

π?782?由已知|m＋n|＝，得cos?θ＋?＝. 4?255?π?π??2?θ

又cos?θ＋?＝2cos?＋?－1，

4???28?π?162?θ

所以cos?＋?＝. ?28?25

5πθπ9π

∵π<θ<2π，∴<＋<. 8288

?θπ?∴cos?＋?<0. ?28?

4?θπ?∴cos?＋?＝－. 5?28?