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不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案
例1、解：a的取值范围为[-3，1]
2???x?x?2x?a?0对任意x??1,???恒成立,又等价例2、解：等价于
于x?1时,??x?的最小值?0成立.
2?????x?x?1?a?1在?1,???上为增函数, 由于
t=m g(t) 则?min?x????1??a?3,所以 a?3?0,例
3、解：由
2a??3
fcos??2msin??f??2m?2??0得到：
2??o · 1 t 图1 fcos??2msin???f??2m?2?因为f?x?为奇函数，
2fcos??2msin??f?2m?2?恒成立， 故有
????2??fxcos??2msin??2m?2对又因为为R减函数，从而有
??????0,??2?恒成立
g(t) t=m t o · 1 图2
设sin??t，则t?2mt?2m?1?0对于t??0,1?恒成立，
22??gt?t?2mt?2m?1,对称轴为t?m. 在设函数
①当t?m?0时，g?0??2m?1?0，
g(t) t=m m??即
11??m?02，又m?0∴2(如图1)
②当t?m??0,1?，即0?m?1时,
??4m?4m?2m?1??0,即m?2m?1?0,
22o ∴1?2?m?1?2,又m??0,1?,∴0?m?1(如图2)
· 1 t 图3 ③当t?m?1时，g?1??1?2m?2m?1?2?0恒成立.∴m?1(如图3)
m??故由①②③可知：
12.
例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，f(x)在x?1处取得极小值f(1)??3?c，此极小值也是最小值.要使
f(x)??2c2(x?0)恒成立，只需?3?c??2c2.即2c2?c?3?0，
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从而(2c?3)(c?1)?0. 解得
c?33(??,?1]?[,??)2或c??1. ?c的取值范围为2.
a?例5、解：
12 例6、解：x?(??,1)?(3,??)
2222ax?3x?(a?1)?x?x?a?1a(x?2)?x?2x?0对a?(0，??)例7、解析：由题设知“对?都成立，即
??)都成立。设g(a)?(x2?2)a?x2?2x（a?R）?a?(0，，
则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。
x2?2?0恒成立，则对?x?R，g(a)为R上的单调递增函数。 所
??)，g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)?0，?x2?2x?0，??2?x?0，于是x的取值以对?a?(0，范围是{x|?2?x?0}。
x2?4x2?44m??f(x)??x?2x?(1,2)xx.令xx，则易知f(x)在(1,2)上例8、解析: 当时，由?mx?4?0得
f(x)max是减函数，所以x?[1,2]时
x2?4(?)min??5?f(1)?5x，则∴m??5.
22f'(x)?ax?2bx?1?0在(0,1]上恒成立f(x)(0,1]a?b?例9、解析：（1）（2）在区间上单调递增
?b??ax1ax1?,x?(0,1]b?(??)max?22x22x恒成立，x?(0,1]。
1a(x2?)ax1a1ag(x)???g'(x)???2??222x，22x2x设，
x?11x??a(舍去)， a或令g'(x)?0得
当a?1时,
0?11ax1x?(0,)?1g(x)???a时g'(x)?0，a22x单调增函数； ，当
x?(当
1ax1,1]g(x)???a时g'(x)?0，22x单调减函数,
g(1)??aa。?b??a。
?
g(x)max?1ax1?1g(x)???22x在区间(0,1]上单调递增，当0?a?1时，a，此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立，所以
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?g(x)maxa?1a?1g(1)??b???2，?2。
b??a?12。
综上，当a?1时, b??a； 当0?a?1时，例10、解析：对?x?R,不等式|x|?ax恒成立
则由一次函数性质及图像知?1?a?1，即?1?a?1。 例11、解：1 O 2??fx?x?ax?a.则关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设 空集?f?x???3在???,???上能成立?fmin?x???3, 4a?a2fmin?x?????3,4即解得a??6或a?2 1ax2?2x?112h?(x)??ax?2??.b?2时,h(x)?lnx?ax?2xxx2例14、解：，则 因为函数 h?x?存在单调递减区间，所以h(x)?0有解.由题设可知,h?x?的定义域是?0,??? , ?而h?x??0在?0,???上有解,就等价于h?x??0在区间?0,???能成立,即 ??a?12?2x, x??0,???成立, 进而等x价于a?umin?x?成立,其中 u?x??212?2x. x12??1?1??1??u?x??2?x?x?x由得,umin?x???1.于是,a??1, 由题设a?0,所以a的取值范围是??1,0???0,??? 例15、解：6 x2?2x?af?x???0x例16、解：是一个恰成立问题,这相当于的解集是x??1,???. x2?2x?aaf?x???x??2?3xx当a?0时,由于x?1时, ,与其值域是?0,???矛盾, x2?2x?aaf?x???x??2xx当a?0时, 是?1,???上的增函数,所以,f?x?的最小值为f?1?,令f?1??0,即 7文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1?a?2?0,a??3. 例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x?[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故hmin(x)≥0.令h′ (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。 由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故hmin(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45. （2）据题意：存在x?[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x?[-3，3]有解，故hmax(x)≥0，由（1）知hmax（x）=k+7，于是得k≥-7。 （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2?[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是： 2fmax(x)?gmin(x)?,?x?[?3?,3]，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-3或-1，易得gmin(x)?g(?3)??21，又,3]. 故f(x)=8(x+1)2-8-k，x?[?3?fmax(x)?f(3)?120?k.令120-k≤-21，得k≥141。 专项练习： (??,?1、解： 13)11 2、解：[2,10) 2'3x?9x?(6?m)?0在x?R上恒成立, f(x)?mx?R?对,, 即 '2f(x)?3x?9x?6, 3、解析： ???81?12(6?m)?0, 得 m??33?4，即m的最大值为4。 4、解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： 2?x?3或x?1?x?4x?3?0?f(?2)?0????2?x?1?0x?1或x??1f(2)??即?解得：?∴x<-1或x>3. 1[,1)5、解：a?0 6、解：x?(??,0)?(4,??) 7、解：16 8、解：画出两个凼数y?ax和 y y?x(4?x)在x?[0,3] a?33 0 3 x 上的图象如图知当x?3时 y?3， a?当 33a?3x?[0,3]时总有ax?x(4?x)所以3 ?2?2?k??2??2?k?222?x?1?maxx?1有解9、解：不等式kx?k?2?0有解?k(x?1)?2有解，所以 8文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 搜索更多关于： 高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题 的文档
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