高考数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题

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不等式恒成立、能成立、恰成立问题

一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：

f?x?min?A?f(x)（1）若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上，的下界大于A f?x?max?Bf(x)（2）若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上,的上界小于A

例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x?[-1,+?]时，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范围。

x2?2x?af?x??,x例2、已知对任意x??1,???,f?x??0恒成立,试求实数a的取值范围;

例3、R上的函数f?x?既是奇函数，又是减函数，且当成立，求实数m的取值范围.

44f(x)?axlnx?bx?c(x?0)在x?1处取得极值?3?c，其中a、b为常数.（1）试确定a、b例4、已知函数

??????0,??2?时，有f?cos2??2msin???f??2m?2??0恒

的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间；

2f(x)??2cx?0（3）若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围。

2、主参换位法

例5、若不等式ax?1?0对例6、若对于任意

x??1,2?恒成立，求实数a的取值范围

a?12x，不等式?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求实数x的取值范围

f(x)?例7、已知函数

a332x?x?(a?1)x?12???)f(x)＞x?x?a?1对任意a?(0，a32，其中为实数．若不等式

都成立，求实数x的取值范围．

3、分离参数法

（1） 将参数与变量分离，即化为（2） 求

g????f?x?（或

g????f?x?）恒成立的形式；

f?x?在x?D上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式

g????f(x)max(或

g????f?x?min) ，得?的取值范围。

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当x?(1,2)时，不等式x2?mx?4?0恒成立，则m的取值范围是 .

1f(x)?ax3?bx2?x?33例9、已知函数,其中a?0（1）当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?（2）已知a?0,

且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.

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4、数形结合

例10 、若对任意x?R,不等式|x|?ax恒成立，则实数a的取值范围是________

2logax(x?1)?例11、当x(1,2)时，不等式<恒成立，求a的取值范围。

二、不等式能成立问题的处理方法

f?x?max?A若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上； f?x?min?B若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的.

例12、已知不等式

x?4?x?3?a2在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围______

例13、若关于x的不等式x?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ．

1f?x??lnx?ax2?2x2例14、已知函数（a?0）存在单调递减区间，求a的取值范围

三、不等式恰好成立问题的处理方法

1??x|?1?x???23??则a?b?___________ ax?bx?1?0例15、不等式的解集为

x2?2x?af?x??,x例16、已知当x??1,???,f?x?的值域是?0,???,试求实数a的值.

例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。

（1）对任意x?[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围； （2）存在x?[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

（3）对任意x1、x2?[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围。

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不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习

2(m?1)x?(m?1)x?3(m?1)?0对任意实数x恒成立，求实数m取值范围 1、若不等式

kx2?kx?6?22x?x?22、已知不等式对任意的x?R恒成立，求实数k的取值范围

9f(x)?x3?x2?6x?a?23、设函数．对于任意实数x，f(x)?m恒成立，求m的最大值。

2x?4、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式?px?1?p?2x恒成立的x的取值范围。

5、已知不等式6、对任意的

x2?2x?a?0对任意实数x??2，3?恒成立。求实数a的取值范围。

a???2,2?2f(x)?x?(a?4)x?4?2a的值总是正数，求x的取值范围 ，函数

?1?0,?x?logmx?0?7、 若不等式在?2?内恒成立，则实数m的取值范围 。

28、不等式

ax?x(4?x)在x?[0,3]内恒成立，求实数a的取值范围。

29、不等式kx?k?2?0有解，求k的取值范围。 10、对于不等式

x?2?x?1?a5]，使此不，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意x?[0，等式恒成立的实数a的集合为N，求集合M，N． 11、①对一切实数x,不等式②若不等式③若方程

x?3?x?2?a恒成立，求实数a的范围。

x?3?x?2?a有解，求实数a的范围。

x?3?x?2?a有解，求实数a的范围。

22x?(y?1)?1，不等式x?y?c?0恒成立，求实数c的范围。 12、 ①若x,y满足方程

22x?(y?1)?1，x?y?c?0，求实数c的范围。 ②若x,y满足方程

4322?，??11?f(x)?x?ax?2x?b(x?R)，其中a,b?R．若对于任意的a???2，13、设函数，不等式f(x)?1在

上恒成立，求b的取值范围．

1f(x)?x3?(1?a)x2?4ax?24a314、设函数，其中常数a?1，若当x?0时，f(x)?0恒成立，求a的取值范

围。

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2ax15、已知向量=(，x+1)，b= (1-x，t)。若函数f(x)?a?b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

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