《空间向量与立体几何》 测试含答案

故P，Q分别为BC，CD的中点时，QB1?PD1．

21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，?ABC?90°，SA?面ABCD，

1求面SCD与面SBA所成二面角的正切SA?AB?BC?1，AD?，2值．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

?1?则A(0，0，，0)B(?1，0，，0)C(?11，，，0)D?0，，0?，S(0，0，1)．

2??延长CD交x轴于点F，易得F(1，0，0)， 作AE?SF于点E，连结DE，

则?DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角．

?11?又由于SA?AF且SA?AF，得E?，0，?，

?22?1??1?111?那么EA???，0，??，ED???，，??，

22222????从而cosEA，ED?EA·EDEAED2． 22． 2

?6， 3

因此tanEAF，ED?故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为

22．平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且?C1CB??C1CD??BCD，试问：当

CD的值为多少时，A1C?面C1BD？请予以证明． CC1解：欲使A1C?面C1BD，只须AC?C1D，且AC?C1B． 11·C1D?0， 欲证AC?C1D，只须证CA11)(CD?CC1)?0， 即(CA?AA1·)(CD?CC1)?0， 也就是(CD?CB?CC1·

即CD?CC1?CBCDcos?BCD?CBCC1cos?C1CB?0． 由于?C1CB??BCD，

显然，当CD?CC1时，上式成立； 同理可得，当CD?CC1时，AC?C1B． 1因此，当

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CD?1时，A1C?面C1BD． CC122

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