年考研数学真题分析

等于m，可知都等于m。

（6）、中等基本题，由A*A+A=0知有特征值0、-1，关键接下来判断各自是几重，注意说了A的秩是3，就可以推出A+E的秩小于等于1了，所以-1特征值对应的特征向量至少有3个线性无关解，所以-1是3重。 （7）、简单题，直接算F的左右极限，相减即可。 （8）、简单题，直接按概率密度积分等于1确定。 填空：

（9）、基本题，求参数方程的二阶导数，直接算就是。 （10）、基本题，明显要换元积分，然后分部积分，也不难。

（11）、中等基本题，这题有一定的技巧性，方法得到可节约时间，可以看到曲线积分被积函数可以凑成1/2*(ydx^2+x^2dy)+1/2(x^2dy)，前一个是全微分，故结果只与起点终点有关，为0，后一个由于对称性也为0，迅速得答案为0。

（12）、基本题，求型心坐标，涉及两个三重积分，但计算都不复杂，用柱坐标即可。

（13）、简单题，由条件知向量组秩为2，初等行变换确定参数。 （14）、难题，这题出得有点意思，必须用数学期望的定义，然后还要求一个级数的和，最后答案是2Ce，当然有人提到其实C也可以确定，不知

道改卷时会怎么判，如果一定要解出C的话，这题将会成为亮点。现在网上给的答案是2，因为C可以解出等于1/e，代入即是。（补充说明，第一遍做这题时没注意到其实条件给的是个带C参数的泊松分布，要是记得泊松分布的期望方差的话，此题成为简单题。） 解答：

（15）、中等基本题，求非齐次方程的解。首先求齐次通解没有问题，但设特解时要注意，有一重根，所以设的应该是x(Ax+B)e^x，剩下就是计算要仔细了。

（16）、中等基本题，求单调区间，那当然是找驻点，求出一阶导以后，判断使其为零的点仍不明朗，所以这里一个小技巧是，要注意到基本里的e^(-t*t)恒为正，所以必须是上下限相同时积分部分才为0，另外一个可以很容易看出是0，这样找到三个驻点1 -1 0以后就好办了。

（17）、新颖题，夹逼原理好多年没考了，今年出现一个，这种题目肯定两问是有联系的，第一问用不等式 ln(1+x)<x 可以得到比较，第二问就是用夹逼原理了，该题有一定难度，不容易想到。

（18）、中等基本题，求和函数，这个都知道是必考的了吧，求和展开，考前必须熟悉的典型内容，但涉及到逐项求导积分，这里要消去分母的系数，应先求导再积分，注意计算容易出错，所以是基本中等题，不能算简单题。

（19）、中等基本题，也可算偏难题，把曲面积分和切平面揉和起来出的题，个人感觉角度也算不错，先要几何应用，判断出切面法向量和xoy平

面平行，从而得出切点满足关系z=2y，再结合椭球方程

一起，构成轨迹方程。第二问求第二类曲面积分，技巧性较强，要注意到被积函数里的绝对值和根号很有特色，先不要冒然动这部分，观察下题目特点，既然说了是曲线上方部分，说明可投影到xoy平面，这样把ds，偏z偏x，偏z偏y求一下，利用曲面积分投影化为dxdy，发现前面的系数正好可以消掉！最后剩下 根号3+x 在平面椭圆上积分，由对称性只x部分为零，而常熟部分则为面积。总体来说该题如果硬算的话计算量很大，费时间且容易出错，但若方法选择得当将会很有优势。 （20）、基本题，讨论参数对方程组解的影响，这类题以往的真题和辅导书上到处可见，既然有两个解，那就是无穷解，说明矩阵非满秩，行列式为零……然后按部就班解出。

（21）、基本题，题目类型不新，但相比课本上眼熟的典型题稍有变化，破解点还是要注意到Q矩阵的正交性，这样就能把另外两个特征向量定出了，然后立马求得A，第二问证明正定，方法很多，可以从定义，也可以证明特征值都大于零，而且还是比较容易看得出来的。

（22）、中等基本题，给了二维概率密度，求条件概率密度，也就是要先去求一个边缘概率密度，把握好对谁积分，求出来是谁的函数就没问题了，当然这里要先求A，注意题目给的二维密度是可以配方的，这样配出来以后是e^(-x平方)和e^(-(y-x)平方)两个部分，那当然是先对y积分后对x积

分，上下限都是无穷，再用到概率积分常数根号pi，反复两次迅速得出A=1/pi，然后如法炮制求条件概率密度，只不过这时候只对二维密度作y积分了。

（23）、难题新颖题，不同于以往的老套路，这次没让求估计，而是先用无偏估计的条件求参数，这涉及到要对N1 N2 N3求期望，可能许多人这里搞不清这三个量到底是啥，不要慌好好看看条件，N1 N2 N3实际上也就是随机变量，所以只要想办法求出它们各自取k时对应的概率就ok了，这相当于要知道分布律，然后再按定义求期望。下一步分析如何求分布律，观察以后发现其实更简单，N1遵循二项分布（因为都是取1或不取1两种可能），直接就可以得到其期望了，N2 N3也一样，第一问搞定！第二问的话是要求方差，那么这里三个N肯定不独立了，所以不能随便把括号打开，要想办法求它们之间的协方差，这是一种考虑，但略微一想N1 N2 N3协方差好像不那么容易求，先不走这条路，另外考虑间接求法，看能不能变形，按第一问的结果a1=0 a2=1/n a3=1/n，带入后T=(N2+N3)/n，问题转化为求N2+N3的方差，要费点周折，但做到这一步，已经大局在握了。之后只要再灵光一现想到N1 N2 N3还有个隐含联系 它们加起来必须等于n，这样最终

把要求的量连接到n-N1上，再次套用二项分布的方差，写完收工^^

最后大家可以汇总一下看，这张试卷里真正的难题（新题）有多少？也就在25%左右吧？综合性最强的，难度大，容易在某些点上被卡住就做不下去的大题，一个是高数曲面积分题，一个是概率第二题，然后是夹逼原理那道题，概率第一题，因为一旦没配方计算量就不得了，平心而论另外五道大题就真是基本的典型题了。而我以前也说过，一个选拔性的考试，难题也就是拉开高分和中档差距的题比例占到20%—25%那是相当正常的了，更多的是那些25%的简单题基本题和50%的中等基本题，这些分数拿到手，再加上难题也不可能一个不会，总要拿点分，这样一共大概有120左右，考中等偏上的名校都没问题了。所以说，还是应了那句老话，考研数学，以难题新题分高下，但最重要的是以基础定输赢！