2018年高考数学二轮专题复习知能专练(十七)圆锥曲线的概念与性质

知能专练（十七） 圆锥曲线的概念与性质

一、选择题

x2y213

1．(2017·惠州调研)双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程

ab2

为( )

3

A．y＝±x

29

C．y＝±x

4

2

B．y＝±x

34

D．y＝±x

9

x2y213c213b213

解析：选A 由双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得2＝，∴2＋1＝，

ab2a4a4b33

可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.

a22

x2y2

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段

abA1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )

A.6 3

B.

321 C. D. 333

2

2

2

解析：选A 以线段A1A2为直径的圆的方程为x＋y＝a，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝

2abb2＋a2

＝a，得a＝3b，所以C的离心率e＝ 2

22

b26

1－2＝. a3

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴

3垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )

1A. 3

123 B. C. D.

232

y2

解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP3113

⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.

222

π

4．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝2，则椭圆的两个

4焦点之间的距离为( )

A.46

3

264323 B. C. D.

333

y2

- 1 -

x2y2

解析：选A 不妨设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，如图，由

abπ

题意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝，BC＝2，∴点C的坐标为(－1,1)，

41142

∵点C在椭圆上，∴2＋2＝1，∴b＝，

2b3

482646222

∴c＝a－b＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c＝. 3333

5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )

A.5

B．22 C．23 D．33

2

解析：选C 法一：由题意，得F(1,0)， 则直线FM的方程是y＝3(x－1)． 由?

?y＝3x－

?y2＝4x，

，

1

得x＝或x＝3.

3

由M在x轴的上方，得M(3,23)， 由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.

又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°， 因此△MNF是边长为4的等边三角形， 所以点M到直线NF的距离为4×

3

＝23. 2

法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°， 则|MN|＝|MF|＝

2

＝4.

1－cos 60°

又∠NMF等于直线FM的倾斜角， 即∠NMF＝60°，

因此△MNF是边长为4的等边三角形， 所以点M到直线NF的距离为4×

3

＝23. 2

x2y2

6．(2018届高三·湘中名校联考)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直

ab3

线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心

5率e的取值范围为( )

?5?A.?，＋∞? ?3?

?5? B.?，＋∞?

?4?

- 2 -

?5?C.?1，? ?3??5? D.?1，? ?4?

2

b2??b2?x2y2b22b?解析：选B 将x＝c代入2－2＝1得y＝±，不妨取A?c，?，B?c，－?，所以|AB|＝. a?abaa?a??

将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，不妨取C?c，?，D?c，－?，所aababca??

bc?

?

??

bc??

2bc以|CD|＝.

a32b32bc392921622222

因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b≥c，即c－a≥c，即c≥a，

5a5a52525252552

所以e≥，所以e≥，故选B.

164

二、填空题

2

x2y2

7．设F1，F2为双曲线C：2－＝1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果

a16

|PF1|－|PF2|＝6，那么双曲线C的方程为________，离心率为________．

解析：由双曲线定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝6，a＝3，所以曲线C的方程为－＝1.又b916

x2y2

c522

＝4，所以c＝a＋b＝5，则离心率e＝＝.

a3

5

答案：－＝1

9163

8．已知抛物线x＝4y，则其焦点F的坐标为________，若M是抛物线上一点，|MF|＝4，O为坐标原点，则∠MFO＝________.

解析：抛物线x＝4y的焦点坐标F(0,1)．设M(x，y)，由抛物线定义可得|MF|＝y＋1＝4，―→―→

则y＝3，代入抛物线方程解得一个M(23，3)，则FM＝(23，2)，FO＝(0，－1)，所以cos―→―→FM·FO12π

∠MFO＝＝－，所以∠MFO＝. ―→―→23|FM||FO|

答案：(0,1)

2π 3

22

x2y2

9．(2018届高三·广东五校联考)已知椭圆C：＋y＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满

2足0<＋y0<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

2

解析：由点P(x0，y0)满足0<＋y0<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝

22，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝22，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|

- 3 -

x2

2

x20

2

x20

2

＋|PF2|的取值范围是[2,22)．

答案：[2,22) 三、解答题

x2y23

10．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为. ab5

(1)求C的方程；

4

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

516

解：(1)将(0,4)代入C的方程得2＝1，解得b＝4.

bc3a2－b29169又e＝＝，得2＝，即1－2＝，

a5a25a25

则a＝5.所以C的方程为＋＝1.

2516

44

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．

55

4x设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋525

2

x2y2

x－

252

2

2

＝1，即x－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.设AB的中点坐标为(x0，y0)，则x0＝

x1＋x23

2

＝，2

6?y1＋y226?3

y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为?，－?.

5

5

?25?

11．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y＝8x.

(2)直线l2与l1垂直，故可设l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点

??y＝8x，为M.由?

?x＝y＋m，?

22

2

2

得y－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴ x1x2

2

＝

y1y2

64

2

＝m.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍去)，∴l2：x22

1

＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3

2

y1＋y2

2

－4y1y2＝245.

- 4 -