2019届江苏省泰州中学、宜兴中学等校高三4月联考数学试题(解析版)

则点O到直线AB的距离，解得

因为AB⊥CD，所以所以CD：

，即

点M（2,1）到直线CD的距离

所以

（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4

当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍 当AB与CD都不平行于坐标轴时

由（1）知

因为，所以

因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，

所以

所以△ABE的面积

记，则

则综上所述：【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况. 20．定义函数（1）若

是

，

型函数，求函数

(0，)为

型函数，共中

．

的值域；

（2）若（3）若

是是

型函数，求函数型函数，在

极值点个数；

上有三点A、B、C横坐标分別为、、，

其中＜＜，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由．

【答案】（1）；（2）1个；（3）见解析.

【解析】（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数零点的个数，化简整理后得

，将导数零点转

化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系. 【详解】 解：（1）因为所以

，

当当又因为所以函数（2）因为所以

时，时，

，的值域为

，，，

单调递增 单调递减

，，

当时，

与，，，

在，，，

上有且只有一个交点

结合函数图像易知当当当

，时时，时，

且当当当

时， 时， 时，

，函数，函数

单调递增 单调递减

所以函数（3）因为所以所以所以

在

只有一个极大值点，极值点个数为1个

，

上单调递减，且

，所以

构造函数,

则记则当当又因为所以

在时，时，

，所以

和

，，

,

单调递增 单调递减 ，所以上单调递减

因为＜＜ 所以所以

所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率 【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值，遇到一阶导数等于0不好解时，常继续进行二阶求导，在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观. 21．已知数列（1）若（2）若数列（3）若数列

的前项和为.数列，且，

满足

，

.

，求正整数的值；

均是等差数列，求的取值范围；

，是否存在正整数，使，

是等比数列，公比为，且

，成等差数列，若存在，求出一个的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2；（2）

；（3）存在，k=1.

，即可解出m；（2）设出数列

，

的

【解析】（1）在原式中令n=m，代入

首项和公差，代入原式化简得一个含n的恒等式，所以对应系数相等得到

；（3）当

【详解】 解：（1）因为所以解得

时，，，为，，成等差数列.

，且

（2）记数列，首项为，公差为；数列，首项为，公差为

则，

化简得：所以

所以的取值范围（3）因为所以

，所以

，所以

所以

若，，成等差数列，则

所以，所以，解得

当时，，，为，，成等差数列.

当

时，，，为，，