2019届江苏省泰州中学、宜兴中学等校高三4月联考数学试题（解析版）

②若数列是公差d≠0的等差数列，则＝max{，，…，}=|d|，

所以有最大值，因此不可能递增且d≠0，所以d＜0，②正确； ③若数列

是公比为q的等比数列，则，所以

或

，又因为

，都有＝，且

的最大项，④正确.

，且，所以

＝＝

，所以

,所以q＞1，③正确； ，假设在

，即

中最大，则

＝，所以

④若存在正整数T，对任意

中都是最大，则，所以是数列

故答案为：①②③④. 【点睛】

本题考查了数列的综合问题，涉及到常数数列、等差数列、等比数列、周期数列，对知识熟练度和推理分析能力要求较高，属于难题. 15．对任给的实数a（a≠0）和b，不等式求实数x的取值范围． 【答案】

的最值问题，然后用绝对值不

恒成立，

【解析】先参变分离将恒成立问题转化成等式求出其最小值为2，再解绝对值不等式. 【详解】 解：因为所以又因为所以所以当当当

时，

时，时，

.

，所以

最小值为2

，所以

，所以

恒成立

综上所述：【点睛】

本题考查了绝对值不等式求最值，绝对值不等式的解法，恒成立问题中常采用参变分离

法转化为最值问题，解绝对值不等式常采用分类讨论法.

二、解答题 16．如图，在多面体（1）求证：（2）求证：

； 平面

. 中，底面

为矩形，侧面

为梯形，

，

.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）易证AD⊥平面CDE，从而AD⊥CE；（2）先证平面ABF∥平面CDE，可得BF∥平面CDE. 【详解】

证明：（1）因为矩形ABCD 所以AD⊥CD

又因为DE⊥AD，且CD所以AD⊥平面CDE 又因为CE

平面CDE

DE=D，CD、DE

平面CDE

所以AD⊥CE

（2）因为AB∥CD，CD所以AB∥平面CDE 又因为AF∥DE，DE所以AF∥平面CDE 又因为AB

AF=A，AB、AF

平面ABF

平面CDE，AF 平面CDE

平面CDE，AB 平面CDE

所以平面ABF∥平面CDE 又因为BF

平面ABF

所以BF∥平面CDE 【点睛】

本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.

17．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)＝0．

（1）求角B的大小； （2）若b＝

，试求

的最小值．

＋c

【答案】（1）（2）－2

【解析】

，所以

即所以（Ⅱ）因为分 所以

=

，即

，则

，即，所以

（Ⅰ）因为

，

………………4分

，所以

…………………………8分

，即

…………12

的最小值为………………………14分

18．某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交

元的管理费，预计当每件商品的售价为万件.

（1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式

；

元时，一年的销售量为

（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求出的最大值. 【答案】（I）（II）当

万元；

当

每件商品的售价为万元.

【解析】试题分析：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为 L(x)= (x－4－a)(10－x)2，x∈[8,9]．

.

每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润

最大,最大值为

元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为

（2）=(10－x)(18+2a－3x)，

令，得x =6+a或x=10（舍去）．∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8.

所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减，故即M(a) =16－4a.

=L(8)=(8－4－a)(10－8)2=16－4a．

答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大， 最大值为16－4a万元．

【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及利用导数求闭区间上函数最值的能力．

19．在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分別与圆O：

交于点A，B，与圆M：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1交于点C，D．

（1）若AB＝，求CD的长；

（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围． 【答案】（1）

；（2）

.

【解析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积

，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由

垂径定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围. 【详解】

解：（1）因为AB＝

，圆O半径为2

所以点O到直线AB的距离为 显然AB、CD都不平行于坐标轴 可设AB：

，即