费马原理

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费马原理的运用

王瑞林（03010425）

（东南大学能源与环境学院，南京 210010）

摘 要： 本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。

关键词： 费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理

The use of Fermat’s principle

Wangruilin

(The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 )

Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and

presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle.

key words: Fermat’s principle；Law of refraction；Optical properties of conic；Brachistochrone；Principle of least action

我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。

函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光

通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为

费马原理简介

一、费马定理的表述

关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以

限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛

其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。

费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t

这两种表述其实具有等价性，因为

费马原理被认为是物理学基本定律——最小作用量原理在几何光学中的特例，被誉为是几何光学的基础，更有人说有了费马定理便有了几何光学的全部，下面，我们将运用费马定理对几个几何定理重新进行梳理。

二、波动光学角度对费马定理的解释

费恩曼在他的物理学讲义中从波动光学的角度上对费马定理的正确性进行了论证：“要是他遵循一

条需要不同时间的路径，则当它到达时就有不同相位。而在某一点上的总振幅等于光能到达的所有不同路径振幅贡献的总和。所有那些提供相位差异很大的路径将不会合成任何东西。但如果你能找出一整序列路径，他们都具有几乎相同的相位，则小小的贡献便将加在一起而在到达之处得到一个可观测的总振幅。因此，重要路径就成为许多能给出相同相位彼此靠近的路径。”而只有时间取极值的那条路径，才能保证路径有微小变化时时间保持不变（再次与导数类比，函数取极值的那个点，当x有微小变化Δx时，Δy=Δx*y’=0，其余的点Δy都是一个不为0的数）。因此，时间取极值的路径被叠加了，成为了实际路径，而其余的任何可能路径都被不同的相位给抵消没了。”

其实就是光在每一条路程中都进行了传播，而真正形成“路径”的只有最短的一条，那一条便是费马原理中变分为零的那一条。

费马原理的运用

由费马原理我们可以推到出几何光学中的三大定律：（1）光在均与介质中沿直线传播（2）光在介质间传播的折射定律（3）光在介质界面的反射定律。定律一非常直观我们不予证明，定律二我们给出直接证明，定律三我们将以圆锥曲线的光学性质证明替代。同时我们还会对费马定理的一些推论和其他运用进行介绍。

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1.1

光线的折射定律

如图所示，假设光从介质1以速度V1进入介质2且速度变为V2，路径为从A至P再到B，按照图中记号，经过整个路程所用时间为

若要用时最小，则dt/dx=0, 得出

由此，我们的由费马定理推出了我们一般所说的折射定律，即光在两种介质之间传播时，入射角与折射角之比等与一个常数，等于光在两种介质中传播速度大小之比。

1.2圆锥曲线的光学性质

(1)从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆的反射，会汇集到另一个焦点上。证明：根据椭圆的定义，F1P+PF2=定值，根据费马原理，光的实际路径是光程极小、极大或定值的路径，所以F1到圆锥曲线上任意一点再到F2是光走的实际路径，所以从F1发出的光经过圆锥曲线反射会汇集到F2

（2)从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。证明：做出抛物线的准线，F1P等于P到准线的距离，即这两段光程相等。光的实际路径至于光程的取值有关，所以从F1发出的经过抛物线反射的光和直接从准线向右发出的光完全等效，因此从F1发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。

(3)从双曲线的一个焦点发出的经过双曲线反射形成的光，好像是从双曲线的另一个焦点直接发出的。证明：因为F1P-F2P=定值，所以对极值的取得没有影响，即从F2发出的经过P反射的光与从F1直接发出的经过P的光取极值的路径相同，即路径是一样的。故证明了双曲线的光学性质。 我们知道，从数学角度上证明圆锥曲线的光学性质即为繁琐，然而运用费马定理来证明则即为简洁，这不单体现了费马定理在几何光学中的普适性，同时也体现了他在概括及检验物理规律上的简洁性。

1.3 费马原理解释光的衍射

从费尔曼物理学讲义上从波动光学角度对费马

原理的解释上来看，我们甚至可以试着用费马定理来理解光的衍射现象：当我们用一个很细的狭缝来挡住一部分光时，时间不取极值的某些路径也因为有一部分光被挡住而不能很好的叠加为零，因此这种情况下光并不是总衍直线传播，而是产生了光可以绕到障碍物后面的的现象，即衍射现象

1.4 利用费马原理求解最速降线

利用费马原理，我们得到了折射定律，即

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如果光线穿越多重介质，在交界处无疑是满足折射定律的，即

当层数越变越多，厚度越来越厚时，在极限情况下，速度大小及方向自然会联系变化，且变化满足：

由费马原理，遵循这一规律的路径是行走最快最简洁的路径，若以小球沿此路径无摩擦的从A至B，用时无疑是最小的。

而这样的一条路径便是我们所求的最速降线，假设小球在A处速度大小为零，以A为原点建立直角坐标系，

则小球在不同高度的速度大小满足

利用几何关系，我们可知：

综合上述公式，我们可知

变换该式，得

记,我们得

此即摆线的标准方程，由此我们了解了无摩擦的最速降线为摆线，与其他方法所得结果相合。

总结

费马定理是法国业余数学家发现的一条十分重要的定理，是最小作用量原理在几何光学上的体

现，是几何光学的基本定理，几乎概括了几何光学的全部内容，而已然学习过几何光学的我们对此则

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知之甚少，本文介绍了费马原理的科学表述及其在几何光学三大定律证明上的运用，并且运用波动光学对费马原理的正确性做出论证还介绍了利用费

马原理解最速降线的巧妙解法。从中我们看到了费马原理的普适性、简洁性与正确性。同时对于最小作用量原理有了一些感悟。

参考文献：

[1] 最小作用量原理与物理之美3——费马原理

http://www.eaglefantasy.com/archives/124 [2] 《最小作用量原理与物理学的发展》（许良 著） [3] 《费恩曼物理学讲义 第二卷》（R·P·费恩曼 著 [4] 《可怕的对称》（阿·热 著）

[5] 献给业余数学之王：澄清对费马原理的误解.

http://www.guokr.com/article/59377/

[6] 尤明庆 《最速降线和摩擦力影响的研究》