数学模型基础知识必备，防挂科

原型和模型是一对对偶体：

原型：人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

模型：为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 按模型替代原型的方式分类： 物质模型(形象模型) 直观模型：供展览用的实物模型(玩具照片等)，追求外观逼真，效果一目了然。 物理模型：科技工作者为了一定的目的根据相似原理构造的模型，如地震模拟装置。 理想模型(抽象模型)

思维模型：人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，

从而可以根据思维或者直觉做出相应的决策。如司机对方向盘的操纵。

符号模型：在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按照一定形式组合起

来描述原型。如地图、电路图等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。

数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规

律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。（课本中专门讨论的数学模型则是由数字，字母或其他数学符号组成的，描述显示对象数学规律的数学公式、图形或算法）

数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间关系的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学模型历史也很悠久。2000多年前创立的欧几里得几何，17世纪牛顿发现的万有引力…都是科学发展史上数学建模的成功范例。

从下面几个方面来看数学建模在现实世界中的重要意义：

1. 在一般的工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。（机械、电机、土木等，CAD…） 2. 在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。（通信、航天、微电子、自动

化）

3. 数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。（经济、人口…） 今天，数学建模有非常具体的应用：

1. 分析和设计：药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效……

2. 预报和预测：产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报…… 3. 控制和优化：电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化……

4. 规划和管理：生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度、排队策略…… 数学建模的基本方法：

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常

有明确的物理或现实意义。

测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统（意思是他的内部机理看不清楚），通过对

系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模，即： 用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数。 数学建模的一般步骤：

1. 模型准备：了解问题实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据等，

尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定

用哪一类模型。

2. 模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必

要的、合理的简化假设。通常，做假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，而是来自对对象、数据的分析，以及二者的综合。想象力、洞察力、判断力以及经验，在模型假设中起着重要的作用。

3. 模型构成：根据所做的假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常

量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型…还需遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你的模型不只是只供专家欣赏。

4. 模型求解：可以采用解方程，画图形，优化方法，数值计算，统计分析等各种数学

方法，特别是数学软件和计算机技术。

5. 模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析…… 6. 模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验

模型的合理性和适用性。若不符，问题常常出现在模型假设上……

7. 模型应用：应用的方式与问题性质、建模目的及最终的结果有关……（超出范围） 数学建模的全过程：

表述、求解、解释、验证。完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象。 表述：将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数学模型的求解属于演绎法。（归纳和演绎是辩证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导） 现实对象和数学模型的关系：

1. 数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实；

2. 只有当数学模型的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来指导现实，完成实践

-理论-实践这一循环。

数学模型的特点：

1. 模型的逼真性和可行性 2. 模型的渐进性 3. 模型的强健性 4. 模型的可转移性 5. 模型的非预测性 6. 模型的条理性 7. 模型的技艺性 8. 模型的局限性 数学模型的分类：

1. 按应用领域(所属学科)：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模

型、水资源模型……范畴更大一些则形成许多边缘科学，如生物数学、医学数学、数学社会……

2. 按建立模型的数学方法(所属数学分支)：初等模型、几何模型、微分方程模型、统

计回归模型、数学规划模型…… 3. 按表现特性：

确定性模型和随机性模型：取决于是否受随机因素的影响。 静态模型和动态模型：取决于是否考虑时间因素引起的变化。

线性模型和非线性模型：取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。 离散模型和连续模型：指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的。

4. 按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型…… 5. 按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。