全国初中数学联赛试题及答案修正版

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：

1111211

1．已知x，y为整数，且满足(＋) (2＋2)＝－(4－4)，则x＋y的可能的值有（ ）

xyxy3xy

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2．已知非负实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则t＝2xy＋yz＋2xz的最大值为（ ）

45912A． B． C． D．

791625

3．在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP＝3，PE＝1，则AE＝（ ）

A．

6

B．2 C．3 D．6 2

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）

1223A． B． C． D．

2534

1

5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}＝t－[t].已知实数x满足x3＋3＝18，则

x1

{x}＋{}＝（ ）

x

11

A． B．3－5 C．(3－5) D．1

22

6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ∠ADE＝90° ,则BE的长为（ ）

1

A．4－23 B．2－3 C．(3－1) D．3－1

2

二、填空题：

1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，

98n

2．使得不等式＜＜对唯一的整数k成立的最大正整数n为________．

17n＋k15

3．已知P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC＝________．

1 a＋b－c

＋ 1

a＋c－b

＋ 1

b＋c－a

＝1，则abc＝__

4．已知正整数a，b，c满足: 1＜a＜b＜c，a＋b＋c＝111，b2＝ac，则b＝________．

第一试 参考答案

一、选择题

二、填空题

1. 0 2. 144 3. 48° 4. 36

第二试 （A）

一、 设实数a,b满足a(b?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求

2211?2的值． 2ab

二、如图，在□ABCD中， D为对角线BD上一点，且满足∠ECD＝∠ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.

D证明：∠DFE＝∠AFB

AE

CF

B

三、设n是整数，如果存在整数x，y，z满足n＝x3＋y3＋z3－3xyz，则称n具有性质P. 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.

第二试 （A）答案

一、解 由已知条件可得ab?(a?b)?40，ab?(a?b)?8.

设a?b?x，ab?y，则有x?y?40，x?y?8， 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2).

若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这个方程的判别式??(?2)?24??20?0，没有实数根；

若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，则a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根，这个方程的判别式??(?6)?8?28?0，它有实数根.所以

222222211a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2??22???8. a2b2aba2b222

二、证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知?ECD??ACB??DAF. 又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC??ABD??AFD，所以△ECD∽△DAF，所以

EDCDAB.又?EDF??BDF??BAF，所以△EDF∽△BAF，故 ??DFAFAF?DFE??AFB.

三、解 取x?1，y?z?0，可得1?13?03?03?3?1?0?0，所以1具有性质P.

取x?y?2，z?1，可得5?23?23?13?3?2?2?1，所以5具有性质P. 为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz，则

333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

＝(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx)

31?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ① 2不妨设x?y?z，

即f(x,y,z)?如果x?y?1,y?z?0,x?z?1，即x?z?1,y?z，则有f(x,y,z)?3z?1； 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1，即x?y?z?1，则有f(x,y,z)?3z?2； 如果x?y?1,y?z?1,x?z?2，即x?z?2,y?z?1，则有f(x,y,z)?9(z?1)； 由此可知，形如3k?1或3k?2或9k（k为整数）的数都具有性质P. 因此，1，5和2014都具有性质P.

若2013具有性质P，则存在整数x,y,z使得2013?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).注意到3|2013，从而可得3|(x?y?z)33，故3|(x?y?z)，于是有

9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所

以2013不具有性质P.

第二试 （B）试题及答案

一．同（A）卷第一题.

二．如图，已知O为△ABC的外心，AB?AC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若BD?7，DC?3，求AH.

A

HNO D

E

F CB

M 解 延长BD交⊙O于点N，延长OD交⊙O于点E，由题意得?NDE??ODB??OCB??OBC??CDE，所以DE为?BDC的平分线.

又点D在⊙O的半径OE上，点C、N在⊙O上，所以点C、N关于直线OE对称，DN?DC.