[整理]《数学分析》（华师大二版）课本上的习题16

-------------

第十六章 多元函数的极限于连续P.120 §1平面点集与多元函数 1． 判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点：

（1）?a,b???c,d?; (2)?(x,y)|xy?0?; (3) ?(x,y)|xy?0?; (4) (x,y)|y??x?;

2 (5) ?(x,y)|x?2,y?2,x?y?2?; (6) ?(x,y)|xy?0?; (7) ?(x,y)|y?sin (9) (x,y)|??12?,x?0?; (8) (x,y)|x?x??y2?1或y?0,0?x?1;

??xy2?2?1或y?0,1?x?2;

? (10) (x,y)|x,y均为整数;

2.试问集合(x,y)|〈0x?a??,0?y?b??;与集合(x,y)|x?a??,y?b??;是否相同？

3．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}?E,Pn?P0.聚点。

4.证明：闭域必为闭集。举例说明反之不真。 5．证明：点列

nnn??????limP?Pn??n0时，P0是E的

?P(x,y)?收敛于P(x,y)的充要条件是limx000n??n?x0和

limyn??n?y0

6．求下列个函数的函数值： （1）f(x,y)?[arctg(x?y)]，求f(1?23,1?23);

arctg(x?y)2xy22 （2）f(x,y)?x?y2，求f(1,)； 2yx （3）f(x,y)?xy?2?xytgx，求f(tx,ty). y7.设F(x,y)=ln xln y,证明：u>0,v>0,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v); 8.求下列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集： （1）f(x,y)?xyx?y2?222 ； （2）f(x,y)?12x?3y22;

-------------

-------------

2（3）f(x,y)=xy; (4)f(x,y)?1? (5)f(x,y)?lnx?lny; (6)f(x,y)? (7)f(x,y)?ln(y?x) (8)f(x,y)? (9)f(x,y,z)?x?y22?1;

sin(x?2y);

e?(x?y);

22zx?y22

?12(10)f(x,y,z)?R2?x?y2?z?21x?y?z?r2222,(R?r)

29.证明：开集与闭集具有对偶性——若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集。 10．证明：（1）若F1，F2为闭集，则 （2）若E1，E2为开集, 则

F1?F与F1?F2都为闭集；

12E1?E与E?E2都为开集；

（3）若F为闭集，E为开集，则F\\E为闭集，E\\F为开集。 11．试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之。 12．证明定理16.4（有限覆盖定理）

§2二元函数的极限

1． 试求下列极限（包括非正常极限）：

（1）

(x,y)?(0,0)limxyx?y222； （2）2(x,y)?(0,0)lim1?x?2yx?y22442；

（3）

(x,y)?(0,0)limx?y1?x?y2222; （3）?1(x,y)?(0,0)limxy?1x?y；

（5）

1； （6）lim(x?y)sin(x,y)?(1,2)2x?y(x,y)?(0,0)lim1x?y22;

（7）

(x,y)?(0,0)limsin(x?2y).

x?y3232.讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限。 (1)f(x,y)?y22x?y (2)f(x,y)?(x?y)sin211sin; xy

-------------

-------------

2(3)f(x,y)?xyxy?(x?y)2222 (4) f(x,y)?xyx?y3?32

1(5)f(x,y)?ysin (6) f(x,y)?xxyx?y2323

(7) f(x,y)?ex?eysinxy

3.证明：若1o

(x,y)?(a,b)limf(x,y)存在且等于A，2oy在b的某邻域内，存在有

limf(x,y)??(y),则limlimf(x,y)?A.

x?ay?bx?a4．试应用???定义证明

(x,y)?(0,0)limxyx?y222?0。

5．叙述并证明：二元函数极限存在的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。 6．试写出下列类型极限的精确定义：

f(x,y)?A; （2） （1）(x,y)lim?(??,?)7．试求下列极限：

(x,y)?(0,?)limf(x,y)?A;

（1）

(x,y)?(??,??)limx?yx?y242 （2）4(x,y)?(??,??)lim(x?2y2)e?(x?y)

（3）

(x,y)?(??,??)lim1(1?)xyxsiny （4）

(x,y)?(??,0)lim1(1?)xxx?y

8．试作一函数f(x,y)使当x???,y???,时，

（1） 两个累次极限存在而重极限不存在； （2） 两个累次极不限存在而重极限存在； （3） 重极限和累次极限都不存在；

（4） 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在。

9．证明定理16.5及其推论3。

§3二元函数的连续性 1． 讨论下列函数的连续性：

（1）f(x,y)?tg

-------------

(xy) （2）f(x,y)?[x?y]

?22-------------

sinxy,y?0 y(3)f(x,y)?

0

y=0

sinxyx?y22,x?2y2?0

(4) f(x,y)?

0

0 x为无理数 (5) f(x,y)?

y x为有理数

（6）f(x,y)?

y2ln(x?2y), x?y2222?0

0

xy?2?0

x1?（7）f(x,y)? （8）f(x,y)?ey

sinxsiny2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性。 3． 设

x(x2?y2), pxy2?2?0

f(x,y)?

0

讨论它在（0，0）点处的连续性。

-------------

xy2?2?0