高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式（二）训练 北师大版选修4-5

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1.3 平均值不等式（二）

一、选择题

1.设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则xy·z的最大值为( ) A.1 C.3

解析 由x、y、z＞0及

B.2 D.4

23

a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an(其中a1＞0，…an＞0)，

n?x＋x＋y＋y＋y＋4z?6

23?＝1. ∴xyz＝··y·y·y·4z≤?22

??22

6??

xx答案 A

?1??1??1?则x的取值范围为( )

2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝?－1??－1??－1?，

?a??b??c??1?A.?0，? ?8?

C.[1，8)

?1?B.?，1? ?8?

D.[8，＋∞)

1??1??1?1－a1－b1－c?解析 ∵x＝?－1??－1??－1?＝·· abc?a??b??c?＝

（b＋c）（c＋a）（a＋b）2bc·2ca·2ab≥＝8，

abcabc当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8. 答案 D

1→→→→→

3.已知|AB|⊥|AC|，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且|AP|

tuuuruuurAB4AC→→＝uuur?uuur，则PB·PC的最大值等于( )

ABACA.13 C.19

解析 建立平面直角坐标系，用坐标法求解.

→→

∵AB⊥AC，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.不妨设

B.15 D.21

?0，1??t?1??4（t，0）→??B?0，?，C(t，0)，则AP＝＋＝(4，1)， 1t?t?

t故点P的坐标为(4，1).

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PB·PC＝?－4，－1?·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－?4t＋?＋17

t?t?t??

≤－24＋17＝13.

11

当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.

t2答案 A

4.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是( ) A.V≥π 1

C.V≥π

8

解析 设圆柱的底面半径为r，高为h， 则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，

B.V≤π 1D.V≤π

8

→→?

1

?

1

?

1?

?r＋r＋h?＝π?3?＝π，

于是有V＝πrh≤π·???3??3???

2

33

当且仅当r＝h时取等号. 答案 B

5.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )

?l?A.??π

?6??l?C.??π ?4?

解析 l＝4r＋2h，即2r＋h＝，

2

3

3

?l?B.??π ?3?

1?l?3D.??π 4?4?

3

l?r＋r＋h?π＝?l?π.

V＝πrh≤???6?

?3???

2

33

答案 A

x＋x＋1?1?2

6.在区间?，2?上，函数f(x)＝x＋bx＋c (b，c∈R)与g(x)＝在同一点取相同的

x?2?

2

?1?最小值，那么f(x)在区间?，2?上的最大值是( )

?2?

A.13 4

B.4 5D. 4

C.8

1

解析 g(x)＝x＋＋1在x＝1时，取最小值3.

x∴b＝－2，c＝4.

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答案 B 二、填空题 7.函数y＝

x2

x4＋9

(x≠0)有最大值______，此时x＝______.

2

解析 ∵x≠0，∴x>0. ∴y＝

＝x＋9

4

x2

19

≤

1

x2＋22

xxx2·2

x1＝， 96

9242

当且仅当x＝2，即x＝9，x＝3，x＝±3时取等号， 1

即当x＝±3时，ymax＝.

61

答案 ±3

6

8.建造一个容积为8 m，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________.

44解析 设池长x m，则池宽 m，水池总造价y＝180×4＋2×2××80＋2×2×x×80＝720

3

xx?4?＋320·?＋x?≥720＋320×4＝2 000(元)，当且仅当x＝2时“＝”成立.

?x?

答案 2 000元 三、解答题

3222

9.在△ABC中，如果三内角满足：sinA＋sinB＝5sinC，求证：sin C≤.

5证明 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝＝＝2R. sin Asin Bsin C又∵sinA＋sinB＝5sinC，∴a＋b＝5c. 由余弦定理，得

22

a2＋b2－c24c24c4c4

cos C＝＝≥22＝2＝. 2ab2aba＋b5c5

2

2

2

2

2

2

abc4π3

由0

525

10.某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成.若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元.追加投入的费用按以下关系计算：6x＋

784

－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多x＋3

少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用).

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解 设该城建公司获得的附加效益为y千元， 则由题意，得

－118?＝118－?4x＋y＝2x－?6x＋ x＋3x＋3?????＝118－?4（x＋3）＋＝130－?4（x＋3）＋≤130－2

?????

784

??

784?

784

－12?? x＋3?784? x＋3??

784

＝130－112＝18， x＋3

4（x＋3）·

当且仅当4(x＋3)＝

784

，即x＝11时取等号. x＋3

∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益.

?111?11.已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋?＋＋?≥63，并确定a，b，c为何值?abc?

2

2

2

2

时，等号成立.

证明 法一 因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

a＋b＋c≥3(abc)3①

1

111－

＋＋≥3(abc)3，

222

2

abc2

111??－

所以?＋＋?≥9(abc)3.②

?abb?

2

22

111??－

故a＋b＋c＋?＋＋?≥3(abc)3＋9(abc)3. ?abc?

2

2

22

2－

2

又3(abc)3＋9(abc)3≥227＝63③ 所以原不等式成立.

2

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)＝9(abc)3时，③式等号成

3

2－

立.

1

即当且仅当a＝b＝c＝34时，原式等号成立. 法二 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a＋b＋c≥ab＋bc＋ac，①

2

2

2

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111111

同理2＋2＋2≥＋＋.②

abcabbcac2

111?111?故a＋b＋c＋?＋＋?≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥63.③ abbcac?abc?

2

2

2

所以原不等式成立.

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)＝(bc)＝(ac)＝3时，③式等号成立.

1

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.

4

2

2

2

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