初一数学竞赛教程含例题练习及答案

例9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。

解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。

例10 平面上n（n≥2）个点A1，A2，?，An顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知A1和An涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。 证明：赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数

值为ai，当Ai为黑点时，ai=1，当Ai为白点时，ai=2。再赋予线段AiAi+1以整数值ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为2或4，两端异色的线段具有的整数值为3。

所有线段对应的整数值的总和为

（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋?＋（an-1＋an） ＝a1＋an＋2（a2＋a3＋?＋an-1）

＝2＋1＋2（a2＋a3＋?＋an-1）＝奇数。

设具有整数值2，3，4的线段的条数依次为l，m，n，则 2l＋m＋4n=奇数。

由上式推知，m必为奇数，证明完毕。

例11 下面的表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B，B变成C??Z变成A）。问：能否经过若干次操作，使表1变为表2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。

S O B R K B D S T Z F P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A 表1 表2 解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1，B用2??Z用26代替）。这样表1和表2就分别变成了表3和表4。 每一次操作中字母的置换相当于下面的置换： 1→2，2→3，?，25→26，26→1。 19 15 2 18 20 26 6 16

5

8 15 3 14 1 4 22 24 表3

11 2 4 19 8 5 24 7 18 20 2 19 3 6 25 1 表4

容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而16个数字的和的奇偶性没有改变。因为表3中16个数字的和为213，表4中16个数字的和为174，它们的奇偶性不同，所以表3不能变成表4，即表1不能变成表2。

例12 如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图，如果图（1）必须放在右下图的中间一列，应如何拼？

解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。其中有11个白格和10个黑格，当图形拼成后，图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格，而图形（3）必须有3格是同一种颜色，另一种颜色1格。因为前四种图形，黑、白已各占2×4=8（格），而黑格总共只有10格，所以图形（3）只能是3白1黑。由此知道图（1）一定在中间一列的黑格，而上面的黑格不可能，所以图（1）在中间一列下面的黑格中。

那么其它图形如何拼呢？为了说明方便，给每一格编一个数码（见左下图）。

因为图（3）是3白1黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在（1，3，4，5）或（7，12，13，17）或（11，15，16，21）这三个位置上。

若放在（1，3，4，5）位置上，则图（6）只能放在（7，12，13，18）或（15，16，19，20）或（2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行的，否则角上会空出一格。若放在（2，7，8，13）上，则图（2）只能放在（12，17，18，19）位置上，此时不能同时放下图（4）和图（5）。

若把图（3）放在（7，12，13，17）位置上，则方格1这一格只能由图（2）或图（6）来占据。如果图（2）放在（1，2，3，4），那么图（6）无论放在何

6

处都要出现孤立空格；如果把图（6）放在（1，4，5，10），那么2，3这两格放哪一图形都不合适。

因此，图形（3）只能放在（11，15，16，21）。其余图的拼法如右上图。

练习11

1.中国象棋盘的任意位置有一只马，它跳了若干步正好回到原来的位置。问：马所跳的步数是奇数还是偶数？

2.右图是某展览大厅的平面图，每相邻两展览室之间都有门相通。今有人想从进口进去，从出口出来，每间展览厅都要走到，既不能重复也不能遗漏，应如何走法？

3.能否用下图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为99的正方形（图中每个小方格的边长为1）？请说明理由。

4.用15个1×4的长方形和1个2×2的正方形，能否覆盖8×8的棋盘？ 5.平面上不共线的五点，每两点连一条线段，并将每条线段染成红色或蓝色。如果在这个图形中没有出现三边同色的三角形，那么这个图形一定可以找到一红一蓝两个“圈”（即封闭回路），每个圈恰好由五条线段组成。

6.将正方形ABCD分割成n个相等的小正方格，把相对的顶点A，C染成红色，B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一。试说明：恰有三个顶点同色的小方格的数目是偶数。

7.已知△ABC内有n个点，连同A，B，C三点一共（n＋3）个点。以这些点为顶点将△ABC分成若干个互不重叠的小三角形。将A，B，C三点分别染成红色、蓝色和黄色。而三角形内的n个点，每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一。问：三个顶点颜色都不同的三角形的个数是奇数还是偶数？

8.从10个英文字母A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z中任意选5个字母（字母允许重复）组成一个“词”，将所有可能的“词”按“字典顺序”（即英汉辞典中英语词汇排列的顺序）排列，得到一个“词表”： AAAAA，AAAAB，?，AAAAZ，

AAABA，AAABB，?，ZZZZY，ZZZZZ。

设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间（这两个词除外）的“词”的个数是k，试写出“词表”中的第k个“词”。 练习11答案： 1.偶数。

解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色（图略）。马如从黑点出发，一步只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点，因此，从原始位置起相继经过：白、黑、白、黑??要想回到黑点，必须黑、白成对，即经过偶数步，回到原来的位置。

2.不能。

2

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解：用白、黑相间的方法对方格进行染色（如图）。若满足题设要求的走法存在，必定从白色的展室走到黑色的展室，再从黑色的展室走到白色的展室，如此循环往复。现共有36间展室，从白色展室开始，最后应该是黑色展室。但右图中出口处的展室是白色的，矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。

3.不能。

解：我们将 99×99的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色，使每两个相邻的方格颜色不同，由于 99×99为奇数，两种颜色的方格数相差为1。而每一种纸片中，两种颜色的方格数相差数为0或3，如果它们能拼成一个大正方形，那么其中两种颜色之差必为3的倍数。矛盾！ 4.不能。

解：如图，给8×8的方格棋盘涂上4种不同的颜色（用数字1，2，3，4表示）。显然标有1，2，3，4的小方格各有16个。每个1×4的长方形恰好盖住标有1，2，3，4的小方格各一个，但一个2×2的正方形只能盖住有三种数字的方格，故无法将每个方格盖住，即不可能有题目要求的覆盖。

5.证：设五点为A，B，C，D，E。考虑从A点引出的四条线段：如果其中有三条是同色的，如AB，AC，AD同为红色，那么△BCD的三边中，若有一条是红色，则有一个三边同为红色的三角形；若三边都不是红色，则存在一个三边同为蓝色的三角形。这与已知条件是矛盾的。

所以，从A点出发的四条线段，有两条是红色的，也有两条是蓝色的。当然，从其余四点引出的四条线段也恰有两条红色、两条蓝色，整个图中恰有五条红色线段和五条蓝色线段。

下面只看红色线段，设从A点出发的两条是AB，AE。再考虑从B点出发的另一条红色线段，它不应是BE，否则就有一个三边同为红色的三角形。不妨设其为BD。再考虑从D点出发的另一条红色线段，它不应是DE，否则从C引

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出的两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形，故它是DC。最后一条红色线段显然是CE。这样就得到了一个红色的“圈”：

A→B→D→C→E→A。

同理，五条蓝线也构成一个“圈”。

6.证：将红点赋值为0，蓝点赋值为1。再将小方格四顶点上的数的和称为这个小方格的值。若恰有三顶点同色，则该小方格的值为奇数，否则为偶数。在计算所有n2个小方格之值的和时，除A，B，C，D只计算一次外，其余各点都被计算了两次或四次。因为A，B，C，D四个点上的数之和是偶数，所以n2个小方格之值的和是偶数，从而这n2个值中有偶数个奇数。 7.奇数。

解：先对所有的小三角形的边赋值：边的两端点同色，该线段赋值为0，边的两端点不同色，该线段赋值为1。

然后计算每个小三角形的三边赋值之和，有如下三种情况： （1）三个顶点都不同色的三角形，赋值和为3；

（2）三个顶点中恰有两个顶点同色的三角形，赋值和为2； （3）三个顶点同色的三角形，赋值和为0。

设所有三角形的边赋值总和为S，又设（1）（2）（3）三类小三角形的个数分别为a，b，c，于是有

S=3a+2b+0c=3a+2b。（*）

注意到在所有三角形的边赋值总和中，除了AB，BC，CA三条边外，都被计算了两次，故它们的赋值和是这些边赋值和的2倍，再加上△ABC的三边赋值和3，从而S是一个奇数，由（*）式知a是一个奇数，即三个顶点颜色都不同的三角形的个数是一个奇数。 8.EFFGY。

解：将A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z分别赋值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则

CYZGB=28961，_XEFDA=74530。

在28961与74530之间共有74530-28961-1=45568（个）数，词表中第45568个词是EFFGY。

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