自然主义与数学本体论

（5）到（6）的推理变换也是大脑中实际发生的事件；从（6）到（7）的翻译变换还是大脑中实际发生的事件；最后，（7）作为大脑中的事物也是与大脑之外的其它一些具体事物通过自然化的对应关系产生联系。整个数学应用过程，是一个大脑中的由神经元实现的思想的变换过程，就像一个物理系统经过一系列物理状态的变化过程。

这个过程中的一些思想是实际思想，它们可以潜在地通过自然化的对应关系对应于大脑之外的具体事物。特别地，有一些作为应用的起点的实际思想，即实际前提，如上面的实际前提（1），还有（3）所蕴涵的隐含的实际前提（4）。还有一个作为应用的结论的实际思想，即实际结论，如上面的（7）。这个过程中的另外一些思想，即一些中间的思想（2）、（3）、（5）、（6），则是抽象思想，它们没有自然化的真假。应用之成功在于，当自然化的对应关系存在于起始的实际前提与环境中的具体事物之间的时候，自然化的对应关系也存在于最后实际结论与环境中的具体事物之间。这是相对于同一模式的一类应用过程而言的，即在同一类的所有自然过程中，假如应用的实际前提可通过自然化的对应关系对应于大脑的环境中的具体事物，那么应用的实际结论也可以这样对应于环境中的具体事物。

因此，可应用性指的是一类自然现象中的某种自然规律性。这样，解释可应用性就是解释这种自然规律性为何存在。这与一般的科学理论中对一类自然现象中的规律性的解释，在本质上是一样的。上面所描述的大脑中的数学应用过程就像一个物理系统经历的一个物理过程；而需要解释的就是，在一类这样的过程中，当一个过程的初始状态具有某个属性（即自然化的“真”属性）的时候，该过程的终止状态也具有这个属性。所以，数学的可应用性问题是一个科学问题。这是在自然主义的框架下的数学可应用性问题。

既然可应用性是一个科学问题，对它的回答也应该是一个科学的回答，而一个回答是否可接受应该是依科学的标准来判定。特别地，它应该与形而上学的思辨无关。这里需要解释的是，为什么大脑中的一个数学应用过程最后得出的实际结论具有自然化的“真”属性，而其中的难点是，大脑中的这个应用过程中间的一些思想是抽象思想，自然化的“真”属性不适用于它们。当然，我们假设这个应用过程的起始的一些思想，即那些实际前提，是具备了自然化的“真”属性。所以，要解释的就是，为什么自然化的“真”属性在这个自然过程的起始与终点被保留，虽然这个自然过程的中间不具备这个自然属性。

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下面将简要介绍我们在自然主义的框架下解释数学可应用性的策略。真正执行这个策略需要一些逻辑与数学的研究。这些都包括在另外一本书中①。这里只是简单地说明它的思路。

考察上面的例子中从（1）到（7）的过程，直观上我们相信，最后所得的结论（7）所真正地在逻辑上依赖的前提，应该是象（1）与（4）那样的直接表示具体事物的事态的一些前提。（4）直接描述有限、离散的人口数量的变化的一般性规律；（1）则给出人口数量的某个初始值。除了它们之外，应该还有关于具体事物的一些其它前提也是（7）在逻辑上真正地依赖的，比如，描述不同的时刻之间的顺序与长度关系的前提，关于人口数量的和、差等的算术前提，等等。这是一些关于宇宙中的具体事物的一般性的前提，包括了上一小节讨论先天性的时候提到的，简单的算术、几何的自然应用的结果，以及关于具体事物的物理属性的简单规律等等。为了下面讨论方便，我们将它们概括为

（8） （关于具体事物的一般性前提）

直观上我们相信，这些前提（1）、（4）、（8）加在一起，应该能够逻辑地蕴涵（7）。 换句话说，直观上，应该是关于宇宙中具体事物的一些前提，尤其是关于地球上不同时刻的人口及相关事物的一些前提，真正地蕴涵了结论（7）。至于数学前提（2）、（3）、（5）等等，它们可能有助于以一种比较简单的方式推导出（7），但它们应该不是（7）真正地逻辑上依赖的前提。

这当然只是一个直观上的信念。但如果它成立的话，我们就有一个关于最后得出的实际结论（7）为何是（自然化的）真理的解释，即（7）是真的，因为它是真的实际前提（1）、（4）、（8）等等的逻辑有效的推论。更确切地说，我们可以将大脑中的关于这个应用的特别的数学前提（3）替换为实际前提（4），同时将大脑中的一般的数学前提（5）替换为一般的实际前提（8），然后，大脑中的原先的推导过程就可以转换成从实际前提（1）、（4）、（8）到同样的结论（7）的逻辑有效的推导过程。这样的推导中的每个思想都是实际思想，都可以具有自然化的的“真”属性，而且，推导的每一步都是运用大脑中的逻辑有效的推理模式。前面已经提到，“真”作为大脑中的实际思想的属性被自然化以后，大脑中的一个推理模式的逻辑有效性也可以被自然化。逻辑有效性成为关于一类自然现象中的自然规律性的论断，即当推理模式

①

Ye (2007j)。

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的前提与环境中的事物之间存在着自然化的对应关系的时候，推理模式的结论与环境中的事物之间也存在着自然化的对应关系。所以，假设实际前提（1）、（4）、（8）等等都与环境中的事物存在着自然化的对应关系，那么，这个逻辑有效性中的自然规律性就蕴涵着，实际结论（7）也一定与环境中的事物之间也存在着自然化的对应关系。这就解释了为何原先的应用所得出的最后的实际结论（7）是自然化的真理。换句话说，通过证明原先的数学应用中的数学前提其实是可被消除的，我们将那个数学应用的有效性中的自然规律性，还原为逻辑有效性中的自然规律性，以及一些实际前提是自然化的真理这个假设。我们就有了对数学应用的有效性的自然主义解释。

这个解释将意味着，（2）、（3）、（5）等等数学前提只是有用的工具。它们有助于简化从实际结论（7）所真正依赖的实际前提（1）、（4）、（8）到该实际结论的逻辑推导，但它们自身不是逻辑地得出该实际结论（7）所必不可少的。更具体地说，数学前提（3）简化了实际前提（4）的表述，数学前提（5）则以一种更抽象、更灵活、也更简单一般的方式，概括了实际前提（8）。这些都有助于我们简化而且一般化对（7）的推导。但反过来，对这个数学应用的实际结论（7）为何具有自然化的“真”属性的真正解释，恰好是应该说明，这个应用中的数学前提及应用的中间步骤的那些抽象数学思想，原则上都可以被消去，这个应用原则上可以被还原为从一些实际的真前提（在自然化的“真”的意义上）到那个实际结论的逻辑有效的推导。换句话说，即使我们承认（2）、（3）、（5）等等这些抽象思想也可以有某种“真”属性（不是自然化的“真”），实际结论（7）的自然化的真理性其实也并不真正地依赖于（2）、（3）、（5）等等这些抽象思想的这种“真理性”。它真正以来的是其它的一些实际前提的自然化的真理性，以及大脑中的一些推导过程的自然化的逻辑有效性。这是一个自然主义的、反实在论的解释。即使纯粹从逻辑的角度看，这也应该是对无穷、连续的数学模型为何可以帮助得出关于有限、离散的具体事物的真理的逻辑上最清晰、最严密的解释。

当然，就这个例子而言，要使得这个解释能够成功，我们需要证明（2）、（3）、（5）等等数学前提在这个数学应用中确实可以被消除，而这个应用确实在原则上可以还原为从一些实际前提（1）、（4）、（8）等等到那个应用的实际结论（7）的逻辑有效的推导。对一般的数学应用的解释也是一样的。我们需要证明，在那些应用中，表

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面上谈论抽象数学对象的数学前提都可以被消除，尤其是，无穷可以被消除，整个应用原则上可以被还原为从关于宇宙中的有限、离散事物的一些实际前提，到这个应用的实际结论的逻辑有效的推导。这需要一些逻辑与数学上的复杂的技术性的工作。它相当于要求证明，对于科学来说，谈论超出这个物质世界之外的所谓抽象对象、无穷等等都是原则上可消除的。我们的对数学的可应用性的自然主义解释主要就是做这样的逻辑与数学上的技术性的工作①。

那里的技术性策略是：首先，我们发展了一种有穷主义的数学。有穷主义数学中不假设任何实无穷，甚至也不假设潜无穷。有穷主义数学可以直接被解释为关于有限、离散的具体事物的理论，更确切地说，关于有限的计算机的计算过程与结果的理论。也就是说，有穷主义数学的思想是关于有限、离散的具体事物的实际思想，自然化的“真”属性适用于它们，它的定理可以直接地被解释为自然化的真理。因此，有穷主义数学的应用将是从关于有限、离散的具体事物的实际前提，到关于同样的事物的实际结论的逻辑有效的推导。

其次，我们试图证明，普通的数学应用原则上可以转换为有穷主义数学的应用。证明这一点的策略是在有穷主义数学的框架下发展普通的应用数学理论。这将说明，用有穷主义数学就原则上可以表达我们的科学理论，进行科学理论中需要的计算、推理等等。换句话说，为了表达我们的科学理论，进行科学理论中需要的计算、推理等等，我们原则上不需要谈论任何抽象数学对象，不需要使用任何抽象思想。这样，虽然我们没有将每个具体的普通数学的应用转换为有穷主义数学的应用，但我们证明了转换的结果是可能的，即普通的数学应用的结果也可以用有穷主义数学得出来。因此可以相信，普通的数学应用原则上可以转换为有穷主义数学的应用。

最后，普通的数学应用原则上可以转换为有穷主义数学的应用，这相当于说，普通的数学应用中的象上面的（2）、（3）、（5）那样的纯数学的前提都可以被消去，然后这个应用可以被转化为从关于有限、离散的具体事物的实际前提，到关于同样的事物的实际结论的逻辑有效的推导。这就是上面所描述的关于一个普通的数学应用的最后结论为何是自然化的真理的解释。

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见Ye (2007j)。

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