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2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第三章 导 数
第02讲 利用导数研究函数的单调性 ---讲
1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 2. 高考预测：
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． 3.备考重点：
（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
（）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
知识点1．利用导数研究函数的单调性
在(a,b)内可导函数f(x)，f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
在(a,b)上为增函数． 在(a,b)上为减函数．
【典例1】（2019年高考北京理）设函数
fx）（a为常数）．若（为奇函数，则a=________；
若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用f?(x)?0可得a的取值范围. 若函数即
为奇函数，则对任意的x恒成立，
即
，
则a?1?0，得a??1.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即a?e2x在R上恒成立， 又e2x?0，则a?0， 即实数a的取值范围是???,0. 【规律方法】
利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数
）解出相应的的取值范围，当
在相应区间上是减增函数.
【变式1】（2019·浙江高考模拟）设函数f?x?是定义在???,0?上的可导函数，其导函数为f'?x?，且有
A．??2020,0? B．C．??2016,0? D．【答案】B 【解析】由
， 得：（x＜0），即
上是减函数，
即不等式等价为
在 是减函数，∴由FF（x）（??，0） ，即x＜?2020.
故选B．
得，
，则不等式
的解集为（ ）
时，
的定义域；②求导数
；③由
（或时，
?在相应区间上是增函数；当
令F（x）=x2f（x），则当x＜0 时，得F（ 即'x）＜0，考点1 判断或证明函数的单调性
【典例2】（2019·天津高三期中（理））已知函数（Ⅰ）若f(2)?0 ，求a的值；
'，a?1。
（Ⅱ）讨论函数f?x?的单调性。
【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 (Ⅰ)由题意可得：(Ⅱ)∵函数
，故
，其中a>1，
，∴a?3.
∴f(x)的定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x1=1,x2=a?1. ①若a?1=1,即a=2时,②若0
故f(x)在(a?1,1)单调递减,在(0,a?1),(1,+∞)单调递增. ③若a?1>1，即a>2时，
由f′(x)<0得,1
当1
，故f(x)在(0,+∞)单调递增.
，
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域. 2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 【变式2】（2018届河南省洛阳市第三次统考）已知函数（1）函数
，其中
.
的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；
的单调性.
（2）讨论函数
【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】
（1）由于假设函数
的图象与轴相切于点
.
，
则有，即.
显然得
，将代入方程.显然此方程无解.
的图象都不能与轴相切.
，
，当，得， ，
递增， ，，，， ，
，，
递增，
递减， 递减， 时，递减； 或
，
，
中，
故无论取何值，函数（2）由于当当当①当当当当②当③当当当当
时，
时，时，时，时，
在在
在
，时，时，时，
时，时，
时，时，时，时，由
时，
递增，
递增； 递增；
递增. 在
上是减函数，在
上是增函数，在
上是增函数；
上是增函数，在
上是减函数. 上是增函数；
上是减函数；
综上，当当当当
考点2 求函数的单调区间
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