2016年江苏省高考数学试卷菁优网解析

则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，

令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣

=﹣

，

=（）﹣，由t＞1得，﹣≤

2

＜0，

因此tanAtanBtanC的最小值为8，

当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角． 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长； （2）求cos（A﹣

）的值．

．

【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．

【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长； （2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=， ∴sinB=， ∵

，

）的值．

∴AB==5；

（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣∵A为三角形的内角， ∴sinA=

，

．

第13页（共25页）

∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．

【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．（14分）（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；

（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F． 【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1，

∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F；

（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1，

又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1，

∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F?平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F，

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F?平面A1C1F，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F．

第14页（共25页）

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大． 17．（14分）（2016?江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；组合几何体的面积、体积问题． 【专题】转化思想；导数的综合应用；立体几何． 【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，可得PO1=2m时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；

（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=

m，代入体积公式，

求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值． 【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． ∴O1O=8m，

∴仓库的容积V=×6×2+6×8=312m， （2）若正四棱锥的侧棱长为6m， 设PO1=xm， 则O1O=4xm，A1O1=则仓库的容积V=×（

?

m，A1B1=

）?x+（

2

2

2

3

m， ?

）?4x=

2

x+312x，（0＜x

3

＜6），

2

∴V′=﹣26x+312，（0＜x＜6），

当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增； 当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减； 故当x=2时，V（x）取最大值； 即当PO1=2m时，仓库的容积最大．

【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．

18．（16分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

第15页（共25页）

2

2

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得范围．

+

=

，求实数t的取值

【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．

222

【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．

（2）由题意得OA=2

，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=

，

由此能求出直线l的方程． （3）

=

，即|，2+2

|=

]，欲使

，又|

|≤10，得t∈[2﹣2

，2+2

]，对

于任意t∈[2﹣2，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线

的距离为，由此能求出实数t的取值范围．

【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），

222

∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，

2222

又圆N与圆M外切，圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）+（x﹣7）=25， ∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，

22

∴圆N的标准方程为（x﹣6）+（y﹣1）=1． （2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b， 则圆心M到直线l的距离：d=

=

，

则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，

解得b=5或b=﹣15，

∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15． （3）|又|

=，即

，

，即||=||，

|=|≤10，即

≤10，解得t∈[2﹣2

第16页（共25页）

，2+2]，