当前位置：首页 > 第一部分 函数与极限学习指导
了当n??时xn?a的实质。
7．初学极限的慨念时，多数学生对??N说法不太习惯。如果对?(接近的状态．)和
N(在变化过程中所处的阶段)的含义反复体会，充分理解后，再经过适当的练习，就会感到
习惯。在讲函数的极限概念时，用的是?习惯了???说法，它与??N说法的实质是相似的。因此，
?N说法后，也就不准理解???说法。从而为理解其他情形的极限定义而打下基
础。由于微积分中的其他许多重要概念，如连续、导数，微分及定积分等等，都要用到极限的概念，因此，掌握极限的概念是十分重要的，务必予以足够重视。
8．我们知道，如果不存在正数M，使得当x取函数的定义域内的任何一个值时，对应的函数值
f(x)都可满足|f(x)|?M，则称f(x)在定义城内无界。因此，由无穷大的定
义显然可知，如果函数
f(x)是无穷大(即如果limf(x)??或limf(x)??)，则它
x?x0x??在定义域内必是无界的。但反过来说不一定成立，因为在定义城内无界的函数可以不是无穷大。例如，函数
f(x)?xsinx的定义域是(??,??) 。在(??,??) 内函数
limf(x)??f(x)?xsinx是无界的，因为对于任意的M?0总可以找到x值使得|xsinx|?M，
但是
f(x)?xsinx并不是无穷大，即没有
x??的结论，因为当
x?0,?,2?,3?,?时，函数值为零。
9．求极限有下面一些方法：
（1）利用极限四则运算法则直接求极限； （2）如果x0是
f(x)的连续点，则只要求出f(x0)代替limf(x)即可。
x?x0（3）先进行代数处理(如消去公因子，分子分母同除最高次幂以及同乘共轭根式等)，再用第（1）条求出极限；
（4）通过变量代换化为两个重要极限，从而求出极限。
虽然我们有了一些计算极限的方法，但分子、分母同时为无穷小或同时为无穷大等情形，有时还不能依第（2）条或第（3）条求出极限。进一步的有效方法将有待于后续章节的罗必塔法则的学习。
10．连续是函数的一种重要性态，而微积分中所研究的函数又绝大多数是连续函数，所以必须理解函数连续性的概念。函数连续性的概念包括‘一点处连续”及“在区间上连续”两个方面。重点是前者，其定义有三种等价的表达形式。第一种，
?x?0lim?y?0常被用来判断一
个函数在某区间上的连续性。第二种：
x?x0limf(x)?f(x0)常被用来判断函数在某一点是
否连续，特别是用于判断分段函数布界点处”是否连续。第三种，“?解一下就行了，因为它主要是用于理论性的探讨中。
??”的说法只要求了
11．关于函数的间断点，要弄清每一种间断点的含义并会判别类型。顺便指出；将间断点分为第一类和第二类是与微积分的研究对象有关的。因为在微积分中，主要是研究连续函数及具有第一类间断点的函数，而具有第二类间断点的函数极少遇到，所以我们应重点掌握第一类间断点的判别，特别是可去间断点。
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