2018届高考数学理科二轮总复习高考23题逐题特训三应用题 含解析 精品

(三)应用题

1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．

(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？

(2)设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．

(2)①当x≤7时，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236，

②当x>7时，y＝360x＋236＋70＋6[(x－7)＋(x－6)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432，

?370x＋236，x≤7，?∴y＝?2

?3x＋321x＋432，x>7，?

∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元．

?f(x)＝?3x＋321x＋432

，x>7.?x

2

370x＋236

，x≤7，x

2362 826

当x≤7时，f(x)＝370＋，当且仅当x＝7时，f(x)有最小值≈404(元)；

x73x2＋321x＋432?144?当x＞7时，f(x)＝＝3?x＋x?＋321≥393.

x当且仅当x＝12时取等号．

∵393<404，∴当x＝12时f(x)有最小值393元．

2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t的近似函数的关系式为

32??－t＋11t－24t＋100，0

?4?t－10??3t－41?＋100，10

(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i－1

解 (1)当00，解得t<3或

t>8.

又0

当10

解得10

3综上得0

所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(3,9)内取到．

由V′(t)＝(－t3＋11t2－24t＋100)′＝－3t2＋22t－24， 4

令V′(t)＝0，解得t＝6或t＝(舍去)．

3当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：

t V′(t) V(t)

由上表，V(t)在t＝6时取得最大值V(6)＝136(亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．

3．如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝313 km，且∠AOM＝β.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan α＝2，cos β＝

3

，AO＝15 km. 13

(3,6) ＋ ↗ 6 0 极大值 (6,9) － ↘

(1)求大学M与站A的距离AM； (2)求铁路AB段的长AB.

解 (1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cos β＝由余弦定理，得

AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×

3

13

3

，OM＝313， 13

＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.

∴AM＝62，即大学M与站A的距离AM为62 km.

(2)∵cos β＝32，且β为锐角，∴sin β＝， 1313

AMOM

在△AOM中，由正弦定理，得＝，

sin βsin∠MAO即

623132

＝，sin∠MAO＝， 22sin∠MAO13

ππ

∴∠MAO＝，∴∠ABO＝α－，

44∵tan α＝2，∴sin α＝21

，cos α＝， 55

π1α－?＝∴sin∠ABO＝sin?， ?4?10

又∠AOB＝π－α，∴sin∠AOB＝sin(π－α)＝在△AOB中，OA＝15，由正弦定理，得 ABOAAB15

＝，即＝，

21sin∠AOBsin∠ABO

510∴AB＝302，即铁路AB段的长为302 km.

4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB＝8(百米)，BC＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG，满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE＝0.5(百米)，AH＝4(百米)，N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离的乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH＝0.5(百米)．

2

. 5

(1)求四边形FGHN的面积；

(2)已知音乐广场M在AB上，AM＝2(百米)，若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q为中心建一个休息区，使得QM＝PM，且∠QMP＝90°，问点P在何处时，AQ最小．

解 (1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示．

1

－，4?，因为E到AD与AH距离的乘积为2， 则E??2?2

所以曲线EF上的任意一点都在函数y＝－的图象上．

x由题意，N(－2,0)，所以F(－2,1)．

11?3

＋1×2＝(平方百米)． 四边形FGHN的面积为×?2?2?2

→→→

(2)设P(x，y)，则MP＝(x－2，y)，MQ＝(y，－x＋2)，AQ＝(y＋2，－x＋2)，

?0≤y＋2≤8，?

因为点Q在原植物园内，所以?

?0≤2－x≤4，?

即－2≤x≤2.

1－4，－?， 又点P在曲线EFG上，x∈?2??1

所以－2≤x≤－，则点P在曲线段EF上，

2AQ＝?y＋2?2＋?2－x?2， 2

因为y＝－，所以AQ＝

x＝ ＝ ＝

48x2＋2－4x－＋8

xx

?－2＋2?2＋?2－x?2

?x?

?x＋2?2－4?x＋2?＋4 ?x??x??x＋2－2?2＝－x＋2＋2≥22＋2. ?x?－x

2

当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立．

x

此时点P(－2，2)，即点P在距离AD与AH均为2百米时，AQ最小．