2019-2020学年黑龙江省绥化市明水二中八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

在△AED和△CFB中

∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴DE＝BF，

∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形．

26．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，再由三角函数即可得出AD的长．

【解答】证明：（1）∵AE∥BF， ∴∠ADB＝∠CBD， 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， 同理：AB＝BC， ∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝12， ∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6， ∵∠ADB＝30°， ∴cos∠ADB＝

，

∴AD＝．

27．已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD，

∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF是矩形．

，

28．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F． （1）求证：AE＝BF；

（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．

【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得DA＝AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF＝AE，AF＝DE，然后根据图形列式整理即可得证；

（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF＝AE，AF＝DE，然后结合图形写出结论即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG， ∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， （2）AF+BF＝EF；

∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG， ∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE，

， ，

∴AF+EF＝BF．