2020高考数学二轮复习分层特训卷主观题专练立体几何(5)文

所以d＝

33，所以点A到平面PCD的距离为. 22

6．[2019·安徽合肥六中二模]

《九章算术》是我国古代数学专著，它在几何方面的研究比较深入．例如：堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱；阳马是指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC.

(1)求证：四棱锥B－A1ACC1为阳马．并判断三棱锥A1－CBC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面中的直角(只写出结论)．

(2)若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1的体积最大时， ①求堑堵ABC－A1B1C1的体积； ②求点C到平面A1BC1的距离．

解析：(1)由堑堵的定义知，A1A⊥底面ABC，所以BC⊥A1A， 又BC⊥AC，A1A∩AC＝A， 所以BC⊥平面A1ACC1.

由堑堵的定义知，四边形A1ACC1为矩形． 综上，可知四棱锥B－A1ACC1为阳马．

三棱锥A1－CBC1为鳖臑，四个面中的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B. 1

(2)A1A＝AB＝2，由(1)易知阳马B－A1ACC1的体积V阳马B－A1ACC1＝S矩形A1ACC1×BC312114222

＝×A1A×AC×BC＝AC×BC≤(AC＋BC)＝×AB＝，当且仅当AC＝BC＝2时，阳马B333334－A1ACC1的体积最大，最大值为.

3

1

①堑堵ABC－A1B1C1的体积V′＝S△ABC×AA1＝×2×2×2＝2.

2

12

②由题意知，V三棱锥C－A1BC1＝V三棱锥B－A1C1C＝V阳马B－A1ACC1＝. 2312

设点C到平面A1BC1的距离为d，则S△A1BC1×d＝，

33

1122322

又A1C1＝2，BC1＝BC＋C1C＝6，所以××2×6×d＝，解得d＝.

3233

23

故点C到平面A1BC1的距离为.

3