2020高考数学二轮复习分层特训卷主观题专练立体几何(5)文

立体几何(5)

1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，DE＝25，点F为棱DE的中点．

(1)证明：AF∥平面BCE；

(2)若BC＝4，∠BCE＝120°，求三棱锥B－CEF的体积． 解析：(1)取CE中点M，连接MF，MB. 1因为F为DE中点，所以MF∥CD，且MF＝CD.

21

因为AB∥CD，且AB＝CD，所以AB∥MF且AB＝MF，

2所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM. 又BM?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE. (2)因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC.

因为CD＝4，CE＝2，DE＝25，所以CD＋CE＝DE，所以CD⊥CE. 因为BC∩CE＝C，BC?平面BCE，CE?平面BCE，所以CD⊥平面BCE， 则易知点F到平面BCE的距离为2.

2

2

2

S△BCE＝BC·CEsin∠BCE＝×4×2sin 120°＝23，

1143

所以三棱锥B－CEF的体积VB－CEF＝VF－BCE＝S△BCE×2＝×23×2＝.

333

1

212

2．[2019·清华自招]如图，EA⊥平面ABC，AE∥CD，AB＝AC＝CD＝2AE＝4，BC＝23，

M为BD的中点．

(1)求证：平面AEM⊥平面BCD；

(2)求三棱锥E－ABM的体积．

解析：(1)如图所示，取BC的中点N，连接MN，AN，

1

则MN＝DC＝AE，MN∥CD∥AE，所以四边形AEMN为平行四边形．

2因为EA⊥平面ABC，AN?平面ABC，

所以EA⊥AN，所以四边形AEMN是矩形，所以EM⊥MN. 由题意可得ED＝EB＝25，因为M为BD的中点，所以EM⊥BD. 又EM⊥MN，BD∩MN＝M，所以EM⊥平面BCD. 因为EM?平面AEM，所以平面AEM⊥平面BCD.

(2)由题可知，V三棱锥E－ABM＝V三棱锥M－ABE，因为MN∥AE，AE?平面ABE，MN?平面ABE，所以

MN∥平面ABE，

1

连接NE，则V三棱锥M－ABE＝V三棱锥N－ABE＝V三棱锥E－ABN＝×S△ABN×AE.

3139

易得BN＝3，AN＝13，所以S△ABN＝×BN×AN＝，

2213939

所以V三棱锥E－ABM＝××2＝.

323

3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4.

(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面PAD. (2)求四棱锥P－ABCD的体积．

解析：(1)在△ABD中，AD＝2，BD＝23，AB＝4，所以AD＋BD＝AB，所以AD⊥BD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BD⊥平面PAD.

又BD?平面MBD，所以平面MBD⊥平面PAD.

2

2

2

(2)如图所示，设AD的中点为O，则AO＝1，连接PO，易知PO是四棱锥P－ABCD的高，

PO＝22－12＝3.

1

又易得S梯形ABCD＝33，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×33×3＝3.

3

4．[2019·四川雅安中学10月月考]如图，四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．

(1)求证：AD⊥PC.

1PF(2)当满足V三棱锥B－EFC＝V四棱锥P－ABCD时，求的值．

6PB解析：(1)连接AC.

在△ABC中，AB＝22，BC＝2，∠ABC＝45°，

由余弦定理可得AC＝8＋4－2×22×2×cos 45°＝4，所以AC＝2. 易知∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC，所以AD⊥AC. 在△ADP中，AD＝AP＝2，DP＝22，易知PA⊥AD. 又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC. 因为PC?平面PAC，所以AD⊥PC. (2)因为E为CD的中点，所以

2

S△BEC＝S平行四边形ABCD，

因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD， 所以PA⊥底面ABCD， 设F到底面ABCD的距离为h.

1

因为V三棱锥F－BEC＝V三棱锥B－EFC＝V四棱锥P－ABCD，

6

14

1114PF1所以×S△BEC×h＝××S平行四边形ABCD×PA，所以h＝，则易得＝.

3633PB3

5．[2019·重庆10月月考]如图1，在等腰梯形ABCD中，M为AB边的中点，AD∥BC，

AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，现在沿AC将△ABC折起使点B落到点P处，得到如图2的三棱锥P－ACD.

(1)在棱AD上是否存在一点N，使得PD平行于平面MNC？请证明你的结论； (2)当平面PAC⊥平面ACD时，求点A到平面PCD的距离． 解析：(1)当N为AD的中点时，满足题意，证明如下：

由M，N分别为AP，AD的中点，可得MN为△APD的中位线，所以MN∥PD，又MN?平面

MNC，PD?平面MNC，所以PD平行于平面MNC.

π

(2)在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，易得∠D＝，AC＝3，

3

AC⊥CD.因为AC⊥CD，平面PAC⊥平面ACD，AC为两平面交线，CD?平面ACD，所以CD⊥平

面PAC，又PC?平面PAC，所以CD⊥PC，

111

所以S△PCD＝×PC×CD＝×1×1＝. 222

方法一 取AC的中点H，连接PH.由AP＝PC，可知PH⊥AC.又平面PAC⊥平面ACD，AC为平面PAC与平面ACD的交线，所以PH⊥平面ACD.

131

由CH＝AC＝，PC＝BC＝1，利用勾股定理求得PH＝，所以V2221113

＝××3×1×＝. 32212

3V三棱锥P－ACD3设点A到平面PCD的距离为d，由V三棱锥A－PCD＝V三棱锥P－ACD可知，d＝＝. S△PCD2所以点A到平面PCD的距离为

3

. 2

三棱锥P－ACD1

＝S△ACD×PH3

1

方法二 设点A到平面PCD的距离为d，则由V三棱锥D－PAC＝V三棱锥A－PCD，可得·S△PAC·CD31

＝·S△PCD·d. 3

12π3

在等腰三角形PAC中，S△PAC＝·AB·BC·sin＝，

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