平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解（第2讲 间接效用函数与支出函数）

Born to win

经济学考研交流群 <<<点击加入

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数

跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。

1．设一个消费者的直接效用函数为u??lnq1?q2。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当y??p2?0时，消费者的效用最大化问题为：

max?lnq1?q2q1,q2

s?t?p1q1?p2q2?y构造拉格朗日函数：

L??lnq1?q2???y?p1q1?p2q2?

L对q1、q2和?分别求偏导得：

?L????p1?0 ① ?q1q1?L?1??p2?0 ② ?q2?L?y?p1q1?p2q2?0 ③ ??从①式和②式中消去?后得：

q1???p2p1 ④

再把④式代入③式中得：

?q2?y??p2 ⑤ p2从而解得马歇尔需求函数为：

q1???p2p1?? q2y??p2 p2??0，消费者同时消费商品1和商品2。 由⑤式可知：当y??p2?0时，q2将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

?v?p1,p2,y??u?q1?,q2???ln?p2?y??

p1p2②当y??p2?0时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。 从而解得马歇尔需求函数为：

985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

Born to win

经济学考研交流群 <<<点击加入

q1??y? q2?0 p1y p1y?? p2将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：

?v?p1,p2,y??u?q1?,q2???ln（2）①当y??p2?0时，此时的间接效用函数为：

?v?p1,p2,y??u?q1?,q2???ln?p2p1?将间接效用函数分别对p1、p2和y求偏导得：

?v??v?y?v1?? ??2 ? ?p1p1?p2p2p2?yp2由罗尔恒等式，得到：

y??2p2?v?pp?p?v?ppy??p2?122q1????1????2? q2

11?v?yp2?v?yp1p2p2??②当y??p2?0时，间接效用函数为v?p1,p2,y??u?q1?,q2???lny，将间接效用函数分p1别对p1、p2和y求偏导得：

?v??v?v??? ?0 ? ?p1p1?p2?yy由罗尔恒等式，得到：

?q1????v?p1p1?v?p20y???????0 q2??v?yp1?v?y?yy（3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2．某个消费者的效用函数是u?x1,x2??x12x2，商品1和2的价格分别是p1和p2，此消费者的收入为m，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

maxx12x2

x1，x2s.t.p1x1?p2x2?m

构造该问题的拉格朗日函数：

L?x12x2???m?p1x1?p2x2?

拉格朗日函数对x1、x2和?分别求偏导得：

?L?2x1x2??p1?0 ① ?x1?L?x12??p2?0 ② ?x2985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

Born to win

经济学考研交流群 <<<点击加入

?L?m?p1x1?p2x2?0 ③ ??从①式和②式中消去?后得：

x2?p1x1 ④ 2p22m ⑤ 3p1m ⑥ 3p2把④式代入③式中得：

x1??p1,p2,m??把⑤式代入④式中得：

?x2?p1,p2,m??⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：

4m2m4m3V?px,py,m????

9p123p227p12p2由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：

?27pp2u?332e?p1,p2,u???2p1p2u ??42??2113

3．试根据间接效用函数v?p1,p2,m??收入。

解：由间接效用函数可得：

?v1?vm?vm?????，，。 22?mp?p?p1?p?p1?p2??p1?p2?122m求出相应的马歇尔需求函数，这里m表示p1?p2根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中i?1或2）：

?v?p1x1?????v?y?m?p1?p2?1p1?p22?m p1?p2?v?p2x2?????v?y?m?p1?p2?1p1?p22?m p1?p2

4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

2假定他的选择决策只依赖于其效用函数u?x1x2，这里?x1,x2??R?。已知北京的物价为

?p,p?，上海的物价为?p,p?，并且pa1a2b1b2a1abbbabp2?p1p2，但p1a?p1?p2，p2。又知广州的物

1a1acbb?价为?p1c,p2p?p，p?p???????1122??。若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生22??985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

Born to win

经济学考研交流群 <<<点击加入

活？

解：老人的效用最大化问题为：

maxx1x2x1，x2

s..tp1x1?p2x2?m构造该问题的拉格朗日函数：

L?x1,x2,???x1x2???m?p1x1?p2x2?

拉格朗日函数对x1、x2和?分别求偏导得：

?L?x2??p1?0 ① ?x1?L?x1??p2?0 ② ?x2?L?m?p1x1?p2x2?0 ③ ??由①②③三式求解，可得：x1?p1,p2,m??mm，x2?p1,p2,m??。 2p12p2将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：

m2v?p1,p2,m??

4p1p2于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：

m2m2m2va? vb?bb vc?cc

4p1ap1a4p1p14p1p1abb因为p1ap2?p1p2，所以va?vb。

p1a?pb1pa?2pb2abaa又因为pp2?于??p?1pb?1pa?pp?p1bpb2，由2?p212已知

22c1cbabp1a?p1，p2?p2，所以该不等式的等号并不成立，则有vc?va?vb。

综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

25．（1）设u?x1x2，这里?x1,x2??R?，求与该效用函数相对应的支出函数ep1,p2,u。

??2（2）又设u??lnx1?lnx2，这里，?x1,x2??R?，求与该效用函数相对应的支出函数

e??p1,p2,u??。

（3）证明：e??p1,p2,u???e?p1,p2,u?，其中u??lnu。 答：（1）消费者的支出最小化问题为：

985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解