重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

解：（1）当0?z?1?1

111f(z)?2??[]?

z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1nn?[]?[(?1)(z?1)]? 而?(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1

n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分

n?0?（2）当0?z?1

111f(z)?2??2=?2zz(z?1)z(1?z)?nz? n?0????zn?2 -------10分

n?0（3）当1?z??

11f(z)?2?z(z?1)z3(1?1)

z1f(z)?3z每步可以酌情给分。

?1n1()???n?3 ------14分 zzn?0n?0?五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：

?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x ??y(0)?1?y?(0)?1解：对y(x)的Laplace

变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有

1 …（5分） s?1s2L(s)?s?1?5(sL(s)?1)?4L(s)?整理得

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11?(s?1)(s?1)(s?4)s?11111???? …（7分） 10(s?1)6(s?1)15(s?4)s?1151 ???10(s?1)6(s?1)15(s?4)L(s)?y(x)?1?x5x14xe?e?e …（10分） 10615??t六、（6分）求

f(t)?e??(??0)的傅立叶变换，并由此证明：

cos?t???td??e 22?2????0??t?i?tF(?)?ee解：?????dt (??0) --------3分

F(?)??e??0?i?tedt??e?i?te??tdt (??0)

0??0?t????e??0(??i?)t0dt??e?(??i?)tdt (??0)

e?(??i?)t???i???e(??i?)t???i? (??0)

0??112?F(?)?? ? (??0) ------4分

??i???i??2??21??i?tf(t)?eF(?)d? (??0)- -------5分 ???2?1?2??????ei?t2?d? (??0) 22?????(cos?t?isin?t)d? (??0) 22???????1???2?????0cos?tid? ? ??2??2?sin?t????2??2d? (??0)

??f(t)?2?????0cos?td? (??0)， -------6分 22???共6页第 10 页

??cos?t???td??e 22?2????0

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?复变函数与积分变换?期末试题（B)

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1?i的幅角是（ ）；2.Ln(??i)的主值是2二．1．

（ ）；3.

a=（ ），

f(z)?x2?2xy?y2?i(ax2?2xy?y2)析．4．

在复平面内处处解

z?1z?sinz0是 3的（ ）极点；5． f(z)?，

zzRes[f(z),?]?（ ）；

二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（ ）；

f?(z)?ux?iuy；

（A）f?(z)?uy?ivx； （B）（C）

f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?ux?iuy.

C2．C是正向圆周z?2，如果函数f(z)?（ ），则?f(z)dz?0．

（A）

3z333z； （B）； （C）； （D）. 22(z?1)(z?1)z?1z?1?3．如果级数?cnzn在z?2i点收敛，则级数在

n?1（A）z??2点条件收敛 ； （B）z??2i点绝对收敛；

（C）z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散． ４．下列结论正确的是( )

（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；

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