重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分 五．

10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

??y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x?y(0)?y?(0)?1

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（本题

得分 六、（本题6分）求

??f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：

cos?t???td??e22?2?0???

?复变函数与积分变换?期末试题（A）答案及评分标准

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

1?i3?的幅角是（??2k?,k?0,?1,?2?）；2.23Ln(?1?i)的主值是

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113?f(z)?i ）（ ln2?；3.

1?z224，f(5)(0)?（ 0 ），4．z?0是

z?sinz1f(z)?的（ 一级 ）极点；5． ，（-1 ）； Res[f(z),?]?4zz二．选择题（每题3分，共15分）

1----5 B D C B D

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，求

2222a,b,c,d.

解：因为f(z)解析，由C-R条件

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C2(z?1)z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

ez因为函数f(z)?在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2z?2?i

z?0ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

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z15（3）．?dz

z?3(1?z2)2(2?z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理

z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分）

11?2?iRes[f()2] ----（8分）

zz1()15111zf()2?

12143z2zz(1?2)(2?())zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, zzz(1?z2)2(2z4?1)311111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzzz?0z?0(1?z)(2z?1)z15??dz?2?i --------（10分）

z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)32(z?3)（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点？，

(sin?z)3如果有极点，请指出它的级. 解

：

z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?3(sin?z)（1）z?k,k3?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，

（2）z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， （3）z?3为f(z)的一级极点，

（4）z?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； （5）?为f(z)的非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；

z2(z?1)共6页第 8 页