四川省绵阳南山中学205-2016学年高二数学上学期期中试题

所以，圆N的方程为(x?2)2?(y?4)2?10. ……（5分） 法二：∵A(3,1),B(?1,3),∴kAB?分）

从而线段AB的垂直平分线的斜率为2，方程为y?2?2(x?1)即2x?y?0……（2分） 由方程组?3?11??,线段AB的中点坐标为(1,2)， ……（1?1?32?2x?y?0?x?2解得?，

3x?y?2?0y?4??(2?3)2?(4?1)2?10, ……（4分）

所以圆心N(2,4),半径r?|NA|?故所求圆N的方程为(x?2)2?(y?4)2?10. ……（5分） （2）法一：设M(x,y)，D(x1,y1)，则由C(3,0)及M为线段CD的中点得：

x1?3?x???x1?2x?3?2解得：?. …… (7分) ?y?0y?2y?1?y?1??2又点D在圆N:(x?2)2?(y?4)2?10上，所以有(2x?3?2)2?(2y?4)2?10，化简得：

55(x?)2?(y?2)2?. ……（9分）

2222故所求的轨迹方程为(x?)?(y?2)?525. ……（10分） 222法二：设M(x,y)，又点D是圆N:(x?2)?(y?4)?10上任意一点，可设

D(2?10cos?,4?10sin?). ……（6分）

?3?2?x???∵C(3,0)，点M是线段CD的中点，∴有??y?0?4???22消去参数?得：(x?)?(y?2)?10cos?2，……（8分） 10sin?255.故所求的轨迹方程为

2255(x?)2?(y?2)2?. ……（10分）

2218、（本题满分10分）

解：（1）∵Sn?2n2?n,n?N*，∴当n?1时，

a1?S1?3. ……（1分）

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当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n2?n?[2(n?1)2?(n?1)]?4n?1.

∵n?1时，a1?3满足上式，∴an?4n?1,n?N*. ……（3分） 又∵an?4log2bn?3,n?N*，∴4n?1?4log2bn?3，解得：bn?2n?1. 故an?4n?1,，bn?2n?1，n?N*. ……（5分） （2）∵an?4n?1,，bn?2n?1，n?N*

∴Tn?a1b1?a2b2???anbn?3?20?7?21???(4n?5)?2n?2?(4n?1)?2n?1…①

2Tn?3?21?7?22???(4n?5)?2n?1?(4n?1)?2n…② ……（7分）

由①-②得：?Tn?3?4?21?4?22???4?2n?1?(4n?1)?2n

2(1?2n?1)?3?4??(4n?1)?2n?(5?4n)?2n?5 ……（9分）

1?2∴Tn?(4n?5)?2n?5，n?N. ……（10分） 19、解：（1）∵抛物线G:y2?ax(a?0)的焦点在x轴上，且其坐标为(,0)（2分） ∴对方程y?2x?16，令y?0得：x?8. ……（3分） B*a4yAa从而由已知得?8，a?32. ……（44分）

（2）由（1）知：抛物线G的方程是y?32x，F(8,0). 又∵点A在抛物线G上，且yA?8，∴A(2,8). ……（5C分）

延长AF交BC于点D，则由点F是?ABC的重心得：点D为线段BC的中点. 设点D(x,y)，则由AF?2FD得：(8?2,0?8)?2(x?8,y?0)，解之得：?2OFDx?????????x?11.

?y??4∴D(11,?4) ……（7分）

2??y1?32x1设B(x1,y1),C(x2,y2)，则由点B,C在抛物线y?32x上得：?2，两式相减得：

??y2?32x2y2?y1又由点D为线段BC的中点得y1?y2??8，kBC??4. ……（9?(y1?y2)?32，

x2?x12分）

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∴直线BC的方程为y?(?4)??4(x?11)，即4x?y?40?0. ……（10分） 20、解：（1）∵|AB|?|AF2|?|BF2|?8,即|AF1|?|BF1|?|AF2|?|BF2|?8. 又|AF1|?|AF2|?|BF1|?|BF2|?2a，所以4a?8,a?2. ……（2分） 又因为e?1c1，即?，所以c?1，所以b?a2?c2?3. 2a2x2y2??1. ……（4分） 故椭圆E的方程为43?y?kx?m?（2）法一：由?x2y2消去y得(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0.

?1??3?4因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0)，所以m?0，且??0，即

64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?0，化简得4k2?m2?3?0.（*） ……（6分）

此时x0??4km4k34k3??y?kx?m?P(?,) ，，所以004k2?3mmmm由??x?4得Q(4,4k?m) ……（7分）

?y?kx?m4k3,y?)?0，化简得 mm从而以线段PQ为直径的圆的方程满足(x?4,y?4k?m)?(x?x2?4(k34k?1)x?y2?(4k?m?)y?3??0. ……（8分） mmmk4k?1)x?3??0,易得x?1，此式mm2由对称性知，点M必在x轴上.而当y?0时，x?4(恒成立.

故命题成立.定点坐标为M(1,0). …… （10分）

?y?kx?m?222法二：由?x2y2消去y得(4k?3)x?8kmx?4m?12?0.

?1??3?4因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0)，所以m?0，且??0，即

64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?0，化简得4k2?m2?3?0.（*） ……（6分）

此时x0??4km4k34k3??y?kx?m?P(?,) ，，所以0024k?3mmmm - 7 -

由??x?4得Q(4,4k?m). ……（7分）

?y?kx?m因为存在定点M满足条件，由图形对称性知：点M必在x轴上.取k?0,m?3, 此时P(0,3),Q(4,3),以PQ为直径的圆的方程为(x?2)2?(y?3)2?4,交x轴于

31M1(1,0),M2(3,0);取k??,m?2，此时P(1,),Q(4,0)，以PQ为直径的圆的方程为

225345(x?)2?(y?)2?，交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以满足条件的点存在，其必为

2416(1,0). ……（8分）

下面证明点M(1,0)满足条件.

??????????????4k3????1212?1,),MQ?(3,4k?m),所以MP?MQ??k?3?k?3?0，故 因为MP?(?mmmm?????????恒有MP?MQ,故点M(1,0)恒在以线段PQ为直径的圆上. ……（10分）

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