数学竞赛辅导讲座一

数学竞赛辅导讲座一

——数

1、 计算：1?11(1?2)?(1?2?3)?23?1(1?2?3?20?20)．

45?45?45?4565?65?65?65?65?65?65??2n，那么n=_______． 2、 如果555553?3?32?23、 军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc，七进制表示为cba，

那么苹果总数用十进制表示为_______．

4、 已知实数a满足|2006?a|?a?2007?a，那么a-20062的值是（ ）

A、2005 5、设分数

B、2006

C、2008

D、2009

n?13(n?13)不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（ ）

5n?6

B、68

C、45

D、115

A、84

6、数272-1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________． 7、n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=________． 8、设a?

A、24

7?1，则3a3+12a2-6a-12=（ ）

B、25

C、47?10

D、47?12

?1515?9、已知a、b是正整数，且满足2??a?b??是整数，则这样的有序数对（a，b）共有

??____对．

10、设n是大于1909的正整数，使得

A、3

B、4

C、5

n?1909为完全平方数的n的个数有（ ）个

2009?n

D、6

11、设an表示数n4的末位数，则a1+a2+?+a2008=________．

12、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+?+|1-10x|为定值，则定值为（ ）A、2 13、若1?

B、3

C、4

D、5

xyyzzx，则x=______． ,2?,3?x?yy?zz?x14、试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+?+|x-2009|的最小值．

15、已知p、q均为素数，且满足5p2+3q=59，则以p+3，1-p+q，2p+q-4为边长的三角形是（ ）

A、锐角三角形

B、直角三角形

C、钝角三角形

D、等腰三角形

16、若x1、x2 、x3 、x4 、x5为互不相等的正奇数，满足

(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242，则x12+x22+x32+x42+x52的末尾数字是（ ）

A、1

B、3

C、5

D、7

17、在数1、2、3、?、2008、2009前面任意添加上“+”或“-”进行计算，所得可能的最小非负数是________．

18、设a、b、c为实数，x?a?2b?至少有一个值（ ）

A、大于0

B、等于0

C、不大于0

D、小于0

2?3,y?b2?2c??6,z?c2?2a??2，x、y、z中

19、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+?+20093天是星期_____．

11,,20、当x分别取

200920081,,1,2,2

1?x2,2008,2009时，计算代数式值，将所得

1?x2B、1

C、0

D、2009

的结果相加，其和等于（ ）A、-1

21、已知四个互不相等的正数x、y、m、n中，x最小，n最大，且x：y=m：n，试比较x+n与y+m的大小，并证明你的结论． 22、计算：121?2?132?23?143?34??110099?99100．

23、设x>0，y>0，且x?x?2y??y6x?5y，求??x?xy?y2x?xy?3y的值

24、求x2?1?(4?x)2?4的最小值．

25、设a、b、c为两两不相等的有理数，求证111为有理数． ??222(a?b)(b?c)(c?a)26、已知2009?27、设S?1?x?y，且0

?13??1980100，如果用记号[S]表示不超过S的最大整数，试求

12S．

28、已知x、y是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)． 29、若a、b是整数，且7|(a+b)，7|(2a-b)，求证：7|(5a+2b)． 30、正整数p、q都大于1，且

2p?12q?1都是整数，求p+q． ,qp31、当n是正整数时，n4-6n2+25是质数还是合数？证明你的结论． 32、已知a是自然数，问a4-3a2+9是质数还是合数？证明你的结论．

33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．

34、设a、b、c、d是正整数，并且a2+b2=c2+d2，证明a+b+c+d一定是合数．

35、你能找到三个正整数a、b、c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．

36、一个正整数a，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望数” （1）请你举例：“希望数”一定存在；

（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

37、将自然数1、2、3、?、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 38、设x?12?1，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求a?b?3ab的值．

3339、设a、b都是整数，求证：a，b，a2+b2，a2-b2中一定有一个被5整除．

40、若一个数能够表示成x?2xy?2y(x，y是整数)的形式，则称该数为“好数” （1）试判断29是否为好数；

（2）写出80，81，?，100中的好数； （3）如果m，n都是好数，证明mn也是好数．

41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得

（1）三堆的石子数分别是2、12、22？

22（2）三堆的石子数都是12？

如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．

注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等． 42、求证2为无理数．

43、已知p为大于3的质数，证明p的平方被24除的余数是1．

44、已知M是一个四位的完全平方数，若将M的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．

45、在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“-”号，如果可以使其代数和为n，就称n是“可被表出的数”，否则，就称n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2-3-4+5+6-7-8+9是1的一种可被表出的方法） （1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法种数．