2020届高考数学二轮复习分层讲义(拔高)：圆锥曲线第1章 轨迹方程

x2y2【例2】已知椭圆2?2?1?a?b?0?，M为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段MF1ab的中点P的轨迹是（ ）

A 圆 B 椭圆 C 线段 D 一段抛物线

x0?c?x???x0?2x?c(2x?c)24y2?2解析 设点M(x0,y0),P(x,y)，则?，得?代入椭圆方程中，得?2?1，2y?2yyab?0?y?0??2即线段MF1的中点P的轨迹是椭圆。故选B。

【例3】如图10—19所示，抛物线C1:x2?4y,C2:x2??2py?p?0? ，点M?x0,y0?在抛物线C2上，过M作C1的切线，切线为A,B（M为原点O时，A,B 重合于O），当x0?1?2时，切线

1MA的斜率为?。

2（1）求P的值

（2）当M 在C2 上运动时，求线段AB中点N 的轨迹方程。

解析 （1）因为抛物线C1:x2?4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y??x1，且切线MA的斜率为?，22111所以A点的坐标为(?1,)，故切线MA的方程为y??(x?1)?。 424113?22因为点M(1?2,y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0??(2?2)???，①244(1?2)23?22y0????②，由①②得p?2。 2p2p2x?xx12x2（2）设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1?x2,由N为线段AB中点知x?12，③ 4422x12?x2x1x12，④ 切线MA，MB的方程为y?(x?x1)?，⑤ y?8242x?xxxx2x2y?(x?x2)?，⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0?12,y0?12。因为点24242x12?x2M(x0,y0)在C2上，即x??4y0，所以x1x2?? ⑦ 62044y,x?0。当x1?x2时，A,B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2?y。因334此AB中点N的轨迹方程为x2?y。 3由③④⑦得x2?第四节：参数法:

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标?x,y?中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.

x2y2【例1】如图10—20所示，椭圆C0:2?2?1?a?b?0,a,b为常数?，动圆

abC1:x2?y2?t21,b?t1?a ，C1与C0相交于A,B,C,D点A1,A2分别为C0的左，右顶点，

四点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.

解析 设A(x1,y1),B(x1,?y1)又知A1(?a,0),A2(a,0)，则直线A1A方程为y?y1(x?a) ① x1?a?y12?y12(x2?a2) ③ 直线A2B方程为y?(x?a) ② ，由①②得y?22x1?ax1?ax12y12x1222由点A(x1,y1)在椭圆C0上，故2?2?1，从而y1?b(1?2)，代入③得交点M的轨迹方程：abax2y2??1(x??a,y?0)。 a2b2