2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

主备人：汤继源 审核人：韩多瑞

教学三维目标：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题； 教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积定义及运算律和平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入：

（1）向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？

（2）任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析. 二、讲解新课：

探究（一）:平面向量数量积的背景与含义

思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？

思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？

平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量{ EMBED Equation.3 |a与，它们的夹角是θ，

则数量││││cos? 叫与的数量积，记作，即有= ││││cos?， （其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向量的数量积为0.

【平面向量数量积的几点说明】

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量。

（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若?，且=0，不能推出=因为其中cos?有可能为0.

思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即 a·b=︱a|︱b︱cosθ.

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那么a·b的运算结果是向量还是数量？

思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？

思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？

通过讨论得到如下结论： 当0°≤θ＜90°时，a·b＞0； 当90°＜θ≤180°时，a·b＜0； 当θ＝90°时，a·b＝0.

思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？ “投影”的概念：作图

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定义：

││cos?叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为││；当? = 180?时投影为 ?││.

思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？

思考8：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积。 探究（二）：平面向量数量积的运算性质

思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？

思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？

得到结论： 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝

思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ 思考4：a·b与b·a是什么关系？为什么？

思考5：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？ 思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意义吗？它与a·c＋b·c相等吗？

为什么？

平面向量数量积的运算律 （1）．交换律： =

（2）．数乘结合律：()? =(?) = ?() （3）．分配律：(+)?=?+?

思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？ 思考8：对于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么 b＝c吗？

思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？为什么？ 思考10：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ 理论迁移

例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的夹角为120°，求a·b. 例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).

例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？ 课堂小结：

1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.

2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非. 3. 利用︱a︱＝ 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.

4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.

课后作业：P108 习题2.4A组： 1，2，3，6，7，8.