初三上期中复习《压轴题》专题训练(2)

（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；

（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得

的值；借助a可表示出M点的

坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标． 【解答】解： （1）∵A（1，3∴

），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，

， x2+4

x；

，解得

∴抛物线解析式为y=﹣

（2）存在三个点满足题意，理由如下：

当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，3），

∴D坐标为（1，0）；

当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3

2

﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）

+（3

）2=36，

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AD2+BD2=AB2，即1+（3∴D点坐标为（0，

﹣d）2+42+d2=36，解得d=）或（0，

）；

，

0）综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，或（0，（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

）或（0， ）；

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽Rt△MFP， ∴

=

=3

，

∴MF=3PF，

，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3∴tan∠ABD=

，

∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°， ∴tan∠PNF=∴FN=

PF，

PF， =

，

∴MN=MF+FN=4∵S△BCN=2S△PMN， ∴∴a=2∴NC=∴

=

NC=a2=2××4PF， a=2

=

PF2，

PF， ， ×

+a=

a， ）a， +

）a），

∴MN=

∴MC=MN+NC=（

∴M点坐标为（4﹣a，（

又M点在抛物线上，代入可得﹣解得a=3﹣OC=4﹣a=

或a=0（舍去）， +1，MC=2

+

， +

（4﹣a）2+4

（4﹣a）=（+）a，

∴点M的坐标为（+1，2）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等．在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两种情况，在（3）中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键，注意构造三角形相似．本题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（3）问，难度很大．

2．（2016?淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S． ①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标

（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S

△OCF

，利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的

面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；

②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣t2+t+12）代 入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得解得

，

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； 当y=0时，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8， 所以C点坐标为（8，0）；

（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8）， ∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，

∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=?4?t+?8?（﹣t2+t+8）﹣?4?8 =﹣t2+6t+16 =﹣（t﹣3）2+25，

当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴S的最大值为50；

②∵四边形CDEF为平行四边形， ∴CD∥EF，CD=EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣∵E（t﹣8，﹣t2+t+12）在抛物线上，

∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7， 当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9， ∴此时S=2S△CDF=18．

，

t2+t+12），