2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考提能 圆的第二定义——阿波罗斯圆学案

得D?

?x＋1，y?，所以点C的轨迹方程为?x＋1－3?2＋?y?2＝8，即(x－5)2＋y2＝32.

??2??2?2??2????

1

所以S△ABC＝×2|y|＝|y|≤32＝42，故S△ABC的最大值是42.

2

3．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得PA＝2PB，PC＝PD，则实数a的取值范围是________． 答案 [－22－1,22－1]

解析 设P(x，y)，则?x－1?＋y＝2·?x－3?＋y，

整理得(x－5)＋y＝8，即动点P在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动．

另一方面，由PC＝PD知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)＋y＝8有交点． 所以|a＋1|≤22，

故实数a的取值范围是[－22－1，22－1]．

4.如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________．

2

2

2

2

2

2

2

2

答案 4π

解析 因为AB＝2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x－3)＋y＝4(y≠0)． 设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的轨迹方程为(4－x－3)＋(－y)＝4，即(x－1)＋y＝4(y≠0)，所求的面积为4π.

5．如图，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，

2

2

2

2

2

2

CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，求△PAB的面积的最大值．

解 ∵DA⊥α，PA?α， ∴DA⊥PA，

∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝同理tan∠BPC＝＝

AD4

， APAPBC8

.

BPBP5

∵∠APD＝∠BPC， ∴BP＝2AP.

在平面α上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)，

设P(x，y)，则有?x－3?＋y＝2?x＋3?＋y(y≠0)． 化简得(x＋5)＋y＝16， ∴y＝16－(x＋5)≤16. ∴|y|≤4.

1

△PAB的面积为S△PAB＝|y|·AB＝3|y|≤12，当且仅当x＝－5，y＝±4时取得等号，则△PAB2的面积的最大值是12.

6．已知⊙O：x＋y＝1和点M(4,2)． (1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；

(2)求以点M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；

(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 解 (1)直线l的斜率存在， 设切线l方程为y－2＝k(x－4)， |4k－2|8±19易得2＝1，解得k＝.

15k＋18±19

∴切线l的方程为y－2＝(x－4)．

15

(2)圆心到直线y＝2x－1的距离为5，设圆的半径为r，则r＝2＋(5)＝9， ∴⊙M的方程为(x－4)＋(y－2)＝9.

(3)假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为λ. 根据题意可得PQ＝x＋y－1，

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222PQPRx2＋y2－1

∴＝λ， 22

?x－a?＋?y－b?

即x＋y－1＝λ(x＋y－2ax－2by＋a＋b)．(*)

又点P在圆M上，∴(x－4)＋(y－2)＝9，即x＋y＝8x＋4y－11，代入(*)式得 8x＋4y－12＝λ[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a＋b－11)]， 若系数对应相等，则等式恒成立，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

6

λ?8－2a?＝8，??2

∴?λ?4－2b?＝4，??λ2?a2＋b2－11?＝－12，

2

2110解得a＝2，b＝1，λ＝2或a＝，b＝，λ＝，

553

∴可以找到这样的定点R，使得为定值，如点R的坐标为(2,1)时，比值为2，点R的坐PQPR标为??2?5，15??10?

时，比值为3.

7