2014-2015温州中学自主招生数学

18. （本题15分）某校数学兴趣小组由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m ， n 的值．

5

19.（本题15分）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且∠ABD=∠C，点E在边AB上，且BE=DE，M为边CD的中点，AH⊥DE于点H，已知AH=2-3，AB=1，求∠AME的度数。

A EHD M B C

19.

6

2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题答案

一.选择题 题号 答案 二．填空题

1 D 2 B 3 B 4 C 5 C 6 A 7 D 8 B m2?19. 由条件1+3n≤2 007，得n≤668.设1+7n=m ∴n=.既然n是正整数，

7数.不妨设m+1=7k或m-1=7k.

2

m2?1必是正整722(1)当m+1=7k时，n=m?1=49k?14k=7k2-2k≤668.因为k是正整数，

77当k≤9时，7k2-2k≤7k2≤668;

当k=10时，7k2-2k=680>668. 此时，有9个正整数n使1+7n是完全平方数，并且1+3n≤2 007.

2(2)当m-1=7k时， n=m?1=49k?14k=7k2+2k≤668.

772当k=9时，7k2+2k=585<668; 当k=10时，7k2+2k=720>668.

此时，有9个正整数n使1+7n是完全平方数，并且1+3n≤2 007. 所以，符合题意的正整数n共有18个. 10. -3＜a≤2 11.

2 533322212. 设x,y,z为整数，且x?y?z?3,x?y?z?3，则x?y?z?_3或57_。

333解答：将z?3?x?y代入x?y?z?3 得到xy?3(x?y)?9?8，因为x,y都是x?y整数，所以??x?y?1?x?y?4?x?y?2?x?y?8,?,?,?,前两个方程组无解；后两个方程组解得

xy?2xy?5xy?1xy?16????D A E O I C F x?y?z?1;x?y?4,z??5。所以x2?y2?z2?3或57。

13.解: 连接BI并延长交⊙O于E,则E为弧AC的中点.连

OE、AE、CE、OC，由?B?60，易知?AOE、?COE均为

B 正三角形.由内心的性质得知：AE?IE?CE,所以

A、O、I、C四点共圆,且圆心为E.再延长AI交⊙O于F,

由题设知D、O、F共线，于是?OEI?2?OAI, ?AOD?2?AFD?2?OAI,

又OA?OD?OE?IE, 从而?OAD≌?EOI, 故OI?AD?18. 14.由已知 AB=BC=CD=AD=BD ∵AB//ED ∴∠DEA=∠BAP

7

∵AD//BP ∴∠DAE=∠BPA∴⊿DEA∽⊿BAP ∴

DEABDEBD= ∴= ADPBBDPBAD 又∠EDB=60?=∠DBP

∴⊿EDB∽⊿DBP ∴∠DBE=∠BPD

∴∠CBE=60?-∠DBE=60?-∠BPD =∠PDC ∴ D、B、C、Q四点共圆.

设?DOQ外心为O, 连接OD、OQ . ∴ 则∠QOD=2∠DBQ=2(60?-?), OD=6=r ∴ 当P在初始位置时?=15?,∠QOD=90?

在终止位置时?=35?, ∠QOD=50?

∴ 点Q运动时走过的曲线段为圆O上一段圆心角

为90?-50?=40?=

90?O45?ECQP

B15?ADQ'40?2?2?4?的 圆弧∴ 曲线段长度=6?= 993BEQOCP

15.0

16. ∠PCB＝∠ACD知∠ＰＣＤ＝∠ＡＣＢ＝∠DAE易知∠ＢＤＣ＝∠ABD＝∠AED则⊿ＤＰＣ∽⊿EDA，则DP?CD?AB又∠BAE＝∠ＢＤＥ故，⊿DEP∽⊿ＡＥＢ∴∠DEP＝∠AEB ∴∠

DEAEAE,AED＝∠PEB

17.（1）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，∴x1?x2=

，令0=（k+1）x+（k+1）2，解得：x=﹣（k+1），

=﹣（k+

）2+

，∴x1?x2?x3的最大值为：

；

即x3=﹣（k+1），∴x1?x2?x3=﹣（k+1）?（2）解：∵CA?GE=CG?AB，∴

，∵∠ACG=∠BCE，∴△CAG∽△CBE，

，

∴∠CAG=∠CBE，∵∠AOD=∠BOE，∴△OAD∽△OBE，∴

∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E， ∴OA?OB=

，OD=

，OE=（k+1）2，

，∴OB2=OE，∴OB=k+1，

∴OA?OB=OD，∴

∴点B（k+1，0），将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+

得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣

=0，

解得：k=2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．

8

18.某校数学兴趣小组由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导教师. 在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m ， n 的值．

19. 17.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且∠ABD=∠C，点E在边AB上，且BE=DE，M为边CD的中点，AH⊥DE于点H，已知AH=2-3，AB=1，求∠AME的度数。

AEHDMBC

9