2020年中考数学复习 第三单元 函数 滚动小专题（四）一次函数与反比例函数的综合练习

滚动小专题(四) 一次函数与反比例函数的综合

a

1．(2018·菏泽T20·7分)如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B(0，3)，直

x线y＝kx＋b经过点A(5，0)，与y轴交于点C，且BD＝OC，OC∶OA＝2∶5.

a

(1)求反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋b的表达式；

xa

(2)直接写出关于x的不等式＞kx＋b的解集．

x

解：(1)∵BD＝OC，OC∶OA＝2∶5，点A(5，0)，点B(0，3)， ∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3.1分

又∵点C在y轴负半轴上，点D在第二象限，

∴点C的坐标为(0，－2)，点D的坐标为(－2，3)． a

∵点D(－2，3)在反比例函数y＝的图象上，

x∴a＝－2×3＝－6.

6

∴反比例函数的表达式为y＝－.3分

x将A(5，0)，C(0，－2)代入y＝kx＋b，得

2???5k＋b＝0，k＝，?

5?解得?

??b＝－2，??b＝－2.

2

∴一次函数的表达式为y＝x－2.5分

5a

(2)不等式＞kx＋b的解集为x＜0.7分

x

k

2．(2018·江西)如图，反比例函数y＝(k≠0) 的图象与正比例函数y＝2x 的图象相交于A (1，a)，B 两点，点

x

1

C在第四象限， CA∥y轴，∠ABC＝90°.

(1)求k的值及点B的坐标； (2)求tanC的值．

解：(1)∵点 A(1，a)在y＝2x上， ∴a＝2.∴A(1，2)． k

把A(1，2)代入y＝得k＝2.

x∵A，B两点关于原点O中心对称， ∴B(－1，－2)．

(2)设AC交x轴于点D. ∵CA∥y轴，∴AC⊥x轴， 即∠ADO＝90°.

又∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠AOD. AD2

∴tanC＝tan∠AOD＝＝＝2.

OD1

m

3．(2018·宜宾)如图，已知反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y＝－x＋b的图象经过反比例

x函数图象上的点Q(－4，n)．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．

m

解：(1)反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，

xm4∴4＝，解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝.

1x

一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)， 4???n＝，?n＝－1，－4∴?解得?

?b＝－5.???n＝－（－4）＋b，

∴一次函数的表达式为y＝－x－5.

4???y＝，?x＝－4，??x＝－1，x?(2)由?解得或?

??y＝－1，y＝－4.????y＝－x－5，

2

∴点P(－1，－4)．

在一次函数y＝－x－5中，令y＝0，得－x－5＝0，解得x＝－5，故点A(－5，0)． 11

S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ＝×5×4－×5×1＝7.5.

22

k

4．(2017·贵阳)如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于

xx轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.

(1)求m的值和反比例函数的表达式；

(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？

解：(1)∵直线y＝2x＋6经过点A(1，m)． ∴m＝2×1＋6＝8. ∴A(1，8)．

k

∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝.

1∴k＝8.

8

∴反比例函数的解析式为y＝.

x

8n－6

(2)由题意，点M，N的坐标为M(，n)，N(，n)．

n2∵0＜n＜6， ∴

n－6

＜0. 2

1n－681n－681252

∴S△BMN＝×(||＋||)×n＝×(－＋)×n＝－(n－3)＋.

22n22n44∴n＝3时，△BMN的面积最大．

15

5．(2018·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，直线y＝－x＋与边AB，BC

22k

分别相交于点M，N，函数y＝(x＞0)的图象过点M.

x

k

(1)试说明点N也在函数y＝(x＞0)的图象上；

x

k

(2)将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝(x＞0)的图象仅有一个交点时，

x求直线M′N′的解析式.

解：(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，

3

∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2. 151

把x＝4代入y＝－x＋，得y＝，

2221

∴点M的坐标为(4，)．

2

15

把y＝2代入y＝－x＋，得x＝1.

22∴点N的坐标为(1，2)．

k

∵函数y＝(x＞0)的图象过点M，

x12

∴k＝4×＝2.∴y＝(x＞0)．

2x2

把N(1，2)代入y＝，得2＝2.

xk

∴点N也在函数y＝(x＞0)的图象上．

x1

(2)设直线M′N′的解析式为y＝－x＋b.

21

y＝－x＋b，

22

由得，x－2bx＋4＝0.

2y＝x

?????

12

∵直线y＝－x＋b与函数y＝(x＞0)的图象仅有一个交点，

2x ∴(－2b)－4×4＝0，解得b1＝2，b2＝－2 (舍去)． 1

∴直线M′N′的解析式为y＝－x＋2.

2

m

6．(2018·遂宁)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于

x4

第二、四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝4，sin∠AOD＝且点B的坐标为(n，－2)．

5

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

2

4

解：(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝m

x图象交于A与B，且AD⊥x轴，

∴∠ADO＝90°.

在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD＝4

5，

∴

ADAO＝4

5

，即AO＝5. 根据勾股定理，得DO＝52

－42

＝3. ∴A(－3，4)．

代入反比例函数解析式，得m＝－12，即y＝－12

x.

把B坐标代入，得n＝6，即B(6，－2)， 代入一次函数解析式，得

??

??－3k＋b＝4，?2?6k＋b＝－2，解得?k＝－3，

???b＝2.

∴y＝－2

3

x＋2.

(2)当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1(0，8)． 当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2(0，－5)，E3(0，5)． 当AE4＝OE4时，设E4坐标为(0，a)， 则a2＝(0－3)2＋(a－4)2

，解得a＝258，

即E25

4(0，8

)．

综上，当点E为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或(0，25

8

)时，△AOE是等腰三角形．

5