【人教A版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案(含答案)

AE1

或＝，所以AE＝5或4(cm)． AB2

答案：5或4

2.如图，在?ABCD中，AE∶EB＝2∶3. (1)求△AEF与△CDF周长的比； (2)若S△AEF＝8，求S△CDF.

解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， AE2

∴AB∥CD且AB＝CD.∵＝，

EB3∴

AE2AE2AE2

＝，即＝.∴＝.

AB5CD5AE＋EB2＋3

又由AB∥CD知△AEF∽△CDF， ∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25， 又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.

[例2] 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？

[思路点拨] 此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．

[解] 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔． 连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．

∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG.

即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)， 解得x＝55.2(米)．

故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．

此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．

利用相似三角形的性质解决实际问题

3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．

解：设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.

因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC. APEH

所以＝. ADBC300－2xx所以＝，

300200600

解得x＝(mm)，

71 2002x＝ (mm)．

7

6001 200

答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.

77

4．已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积．

解：设边长为3 cm,4 cm,5 cm的三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，因为该三角形为直角三角形，

511

所以R＝，且(3＋4＋5)r＝×3×4，即r＝1.

222525π

∴S内切圆＝π(cm2)，S外接圆＝π·()2＝(cm2)．

245

又两三角形的相似比为，

1212144π

∴S′内切圆＝()2S内切圆＝(cm2)，

52512

S′外接圆＝()2S外接圆＝36π(cm2)．

5

[对应学生用书P12]

一、选择题

1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于( )

A．2 cm C．4 cm

解析：由DE∥BC， 得△ADE∽△ABC， ∴∴

ADAE

＝. ABACADAE1＝＝. DBEC2

B．6 cm D．8 cm

∴DB＝4×2＝8(cm)． 答案：D

2．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( )

A．13和22 C．15和20

B．14和21 D．16和19

解析：由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得． l13

∴周长之比＝.又l1＋l2＝35，

l24

∴l1＝15，l2＝20，即两个三角形的周长分别为15,20. 答案：C

3．如图所示，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )

A．5 C．6.4

BFCB

解析：∵△CBF∽△CDE，∴＝.

DECDDE·CB3×6

∴BF＝＝＝1.8.

CD10答案：D

4．如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( )

B．8.2 D．1.8

A．50 cm C．60 cm

B．500 cm D．600 cm

解析：图中的两个三角形相似．设屏幕上小树的高度为x cm，根据相似三角形对应高x30＋150

的比等于相似比，得＝，解得x＝60 cm.

1030

答案：C 二、填空题

5．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm，面积为6 cm2，则这块土地的实际周长是________m，实际面积是________m2.

解析：这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为

1

，则实际周长是12×500＝6 000(cm)＝60 m；实际面积是6×5002＝1 500 500

000(cm2)＝150 m2.

答案：60 150

6．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．

解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE. ∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1. AEAD

∵D为AC中点，∴＝＝1.

CFDC∴AE＝CF.

∴BC∶AE＝2∶1.∵BC＝10，∴AE＝5. 答案：5

7．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40 cm2.S

△ABE

∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________． 解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD， 所以△ABE∽△DBA.

所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2. 因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5， 所以AB∶DB＝1∶5. 设AB＝k cm，DB＝5k cm， 则AD＝2k cm.

因为S矩形ABCD＝40 cm2，

所以k·2k＝40，所以k＝25(cm)．