【人教A版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案(含答案)

一

平行线等分线段定理

[对应学生用书P1]

1．平行线等分线段定理

(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

(2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.

[说明]

(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．

(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论 推 论 1 文字语言 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 图形语言 符号语言 在△ABC中，若AB′＝B′B，B′C′平行于BC交AC于点C′，则AC′＝C′C 在梯形ABCD中，AD∥BC，若AE＝EB，EF平 行于BC交DC于F点，则DF＝FC 推 论 2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰

[对应学生用书P1]

[例1] 已知如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.

平行线等分线段定理 求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.

[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC， ∴A1B1＝B1C1.

∵直线l2∥l3∥l4且BC＝CD， ∴B1C1＝C1D1， ∴A1B1＝B1C1＝C1D1.

平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．

1．已知：如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是( ) A．由AB＝BC可得FG＝GH B．由AB＝BC可得OB＝OG C．由CE＝2CD可得CA＝2BC 1

D．由GH＝FH可得CD＝DE

2

解析：OB、OG不是一条直线被平行线组截得的线段． 答案：B

2．如图，已知线段AB，求作线段AB的五等分点．

作法：如图，(1)作射线AC；

(2)在射线AC上依任意长顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH； (3)连接HB；

(4)过点G，F，E，D分别作HB的平行线GA1，FA2，EA3，DA4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.

则A1，A2，A3，A4就是所求的五等分点． 证明：过点A作MN∥HB， 则MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB. 又AD＝DE＝EF＝FG＝GH，

∴AA4＝A4A3＝A3A2＝A2A1＝A1B(平行线等分线段定理)．

平行线等分线段定理推论1的运用 [例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延

长线于E.

求证：AG＝2DE.

AF＝FC，

[思路点拨] GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE [证明] 在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB，

∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE.

故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE.

此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．

3.如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长．

解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA＝OC，BC＝AD. 又因为AB∥DC，OE∥AB， 所以DC∥OE∥AB. 又因为AD＝6，

11

所以BE＝EC＝BC＝AD＝3.

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4．已知：AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F. 1

求证：AF＝AC.

3

证明：如图，过D作DG∥BF交AC于G. 在△BCF中，D是BC的中点， DG∥BF，

∴G为CF的中点．即CG＝GF.

在△ADG中，E是AD的中点，EF∥DG， ∴F是AG的中点．即AF＝FG. 1

∴AF＝AC.

3

[例3] 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点，求证： AM＝BM.

[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M作ME∥BC交AB于点E， ∵AD∥BC， ∴AD∥EM∥BC. 又∵M是CD的中点， ∴E是AB的中点． ∵∠ABC＝90°， ∴ME垂直平分AB. ∴AM＝BM.

有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．

5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．

解：结论成立．证明如下： 过点M作ME⊥AB于点E， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB. ∵ME⊥AB，∴ME∥BC∥AD. ∵AM＝BM，且ME⊥AB，

∴E为AB的中点，∴M为CD的中点．

平行线等分线段定理推论2的运用