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圆锥曲线和射影几何

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  • 2025/7/5 2:21:09

显然,当

?P'Q'M'为正三角形时,面积最大。

此时

332S?P'Q'M'?a

4S?PQMb? 根据仿射变换的性质,

S?P'Q'M'a33ab 所以S?PQM?42y21x例4:作斜率为的直线l与椭圆C:??1交于A,B两点,且P(32,2)3643在直线的左上方。求证:

?PAB的内切圆圆心在一条定直线上。

证明:由于关于椭圆的计算比较烦杂,我们仍对椭圆作仿射变换。

(x,y)变成(x',y'),其中 '' x?x,y?3y 我们把平面直角坐标系中的每一个点

86P4DBE2CH5101520O524A68 10

猜想这条定直线平行于作

Y轴

PH垂直于X轴,与AB交点为C,过P点作X轴的平行线与AB交于D。

?CPD?90?,则ACBD为调与点列

ACBD为调与点列:

若猜想成立,由于现在证明

C(32,a),易得D(62?a,32),yOC?a32x

3236??x? 过过D点作DE?OC,垂足为E,yDEaa将两条直线方程联立,解出

E的横坐标为1082 218?a)2?1082 )?363218?a2a所以

OC?OE?(32)2?a2?(1?(所以由于所以

D的极线过C点,即ACBD为调与点列 ?CPD?90?,则?APC??CPB

?PAB的内切圆圆心在PC上

其实,类似的题目还有很多,这里不再叙述。学几何,我们不能局限于解析几何,有时可以跳出来,从几何的本质入手,这样跟有利于我们学习数学。

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显然,当?P'Q'M'为正三角形时,面积最大。 此时332S?P'Q'M'?a 4S?PQMb? 根据仿射变换的性质,S?P'Q'M'a33ab 所以S?PQM?42y21x例4:作斜率为的直线l与椭圆C:??1交于A,B两点,且P(32,2)3643在直线的左上方。求证:?PAB的内切圆圆心在一条定直线上。 证明:由于关于椭圆的计算比较烦杂,我们仍对椭圆作仿射变换。 (x,y)变成(x',y'),其中 '' x?x,y?3y 我们把平面直角坐标系中的每一个点86P4DBE2CH5101520O524A68 10 猜想这条定直线平行于作Y轴 PH垂直于X轴,与

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