圆锥曲线和射影几何

显然，当

?P'Q'M'为正三角形时，面积最大。

此时

332S?P'Q'M'?a

4S?PQMb? 根据仿射变换的性质，

S?P'Q'M'a33ab 所以S?PQM?42y21x例4：作斜率为的直线l与椭圆C：??1交于A，B两点，且P(32,2)3643在直线的左上方。求证：

?PAB的内切圆圆心在一条定直线上。

证明：由于关于椭圆的计算比较烦杂，我们仍对椭圆作仿射变换。

(x,y)变成(x',y')，其中 '' x?x，y?3y 我们把平面直角坐标系中的每一个点

86P4DBE2CH5101520O524A68 10

猜想这条定直线平行于作

Y轴

PH垂直于X轴，与AB交点为C，过P点作X轴的平行线与AB交于D。

?CPD?90?，则ACBD为调与点列

ACBD为调与点列：

若猜想成立，由于现在证明

设

C(32,a)，易得D(62?a,32)，yOC?a32x

3236??x? 过过D点作DE?OC，垂足为E，yDEaa将两条直线方程联立，解出

E的横坐标为1082 218?a)2?1082 )?363218?a2a所以

OC?OE?(32)2?a2?(1?(所以由于所以

D的极线过C点，即ACBD为调与点列 ?CPD?90?，则?APC??CPB

?PAB的内切圆圆心在PC上

其实，类似的题目还有很多，这里不再叙述。学几何，我们不能局限于解析几何，有时可以跳出来，从几何的本质入手，这样跟有利于我们学习数学。