第一讲 - 二次根式的概念与性质

初二数学 第一学期

第十六章 二次根式

16.1 二次根式

一、复习

1、什么叫平方根？开平方？

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，求一个数a平方根的运算叫做开平方 2、平方根如何表示？

一个非负数a的平方根可以表示为?a

3、求下列各数的平方根： 4、求下列各数的正平方根： （1）4； （2）0.16； （3）

916. （1）225; （2）0.0001； （3）.

8125二、二次根式的意义

1. 二次根式的意义

代数式a（a≥0）叫做二次根式，读作_根号a,其中a是被开方数. 通常把形如a（a≥0）的式子也叫做二次根式.。

2．二次根式何时有意义：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零 即：a≥0 3. 例题

例题1 下列各式是二次根式吗？

2、

2、?2、 3a2?1、b(b?0)、b2?4ac.

例题2 设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？

（1）2x?1； （2）2?x； （3）

1； （4）1?x2 x4．练习（一）

设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）12?2x; （2）?； （3）x2?2x?1. 3x三、二次根式的性质

性质1a2?a; 性质2：_________________________;

性质3：______________________; 性质4：________________________________.

例题3 求下列二次根式的值：

2（1）(3??)； （2）x2?2x?1，其中x??3.

例题4 化简二次根式

1

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（1）72；（2）12a3；（3）18x2?x?0?；

5ab2（4）；（5）；（6）(b?0)

2x39a22例题5 设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：(a?b?c)?(b?c?a)

练习（二）：1、化简下列二次根式

（1）32； （2）27x2(x?0)； （3）124mn3(n?0)； 2（4）2y2a； （5）； （6）6 12x3342、选择题

22（1）、实数a、b在数轴上对应的位置如图，则(b?1)?(a?1)?（ ）

A、b-a B、2-a-b C、a-b D、2+a-b （2）、化简(1?2)的结果是（ ）

2· a

· · · 0 b 1

A、1?2 B、2?1 C、?(2?1) D、?(1?2)

（3）、如果

x?1x?2?x?1，那么x的取值范围是（ ） x?2A、1≤x≤2 B、1＜x≤2 C、x≥2 D、x＞2

16．2最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式符合的两个条件：

（1）_________________________________________________; （2）_________________________________________________.

例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1）5a2；（2）42a；（3）24x3；（4）3?a?2a?1?(a??1) 3

例题7 将下列二次根式化成最简二次根式： （1）4xy

2

32（2）?y?0?；

（3）?a2?b2??a?b??a?b?0?；

m?n?m?n?0? m?n初二数学 第一学期

2、练习（三）

（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：

1y,ab,2c2,,4a2?4a?1,a2?b2 3x

（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：

43y2222214,,5?u?v?,ab?ac?a?0?,y?0? 3?mx（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：

ab3p2233a,?b?0?,a?x?y??x?y??x?y?0?,?p?q?0?

4p?q5

3、同类二次根式

几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.

例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

12,24,1,a4b,2a3b?a?0?,?ab3?a?0? 27

例题9 合并下列各式中的同类二次根式：

（1）22?113?2?3； （2）3xy?axy?bxy 23

4、练习（四）

（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式： A.32,50,2

1; B. 184x3,22x,8x2?x?0?;

xy2C.3x,3ax?a?0?,?y?0?

323

3

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（2）合并下列各式中的同类二次根式： A.35?15b. ?45; B.2a?4b?6a?22 4