异面直线所成的角

其底面又

面积为

，

，

∴。

（2）以D为坐标原点，得又则∴即

∴（3）

。

，

， ，

，

所在直线分别作x轴，y轴，z轴，

，

，

则

设异面直线E1G1与EA所成角为θ，

，

则。

如图，α和β为平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′=3，BB′=2。

若二面角α-l-β的大小为，

求：（Ⅰ）点B到平面α的距离；

（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）。

解：（1）如图，过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A， 过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D， 由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，

又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l， 又因BD⊥CB′， 从而BD⊥平面α，

BD之长即为点B到平面α的距离， 因B′C⊥l且BB′⊥l，

故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角，

由题意，∠BB′C=，

因此在Rt△BB′D中，BB′=2，∠BB′D=π-∠BB′C=BD=BB′·sin∠BB′D=（Ⅱ）连接AC、BC，

；

，

因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，知A′ACB′为矩形， 故AC∥l，

所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角，

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=则由余弦定理， BC=

因BD⊥平面α，且DC⊥CA， 由三垂线定理知AC⊥BC，

，

，

故在△ABC中，∠BCA=，

sin∠BAC=，

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin

。

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°， （1）求四棱锥P-ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

解：（1）依题设可知∠PBD=60°是PB与面ABCD所成的角， 且BD=2，BO=1， 设PO=h，

则在Rt△POB中，，

；

（2）设AB的中点为F，连EF，DF， 易知△PBO是边长为2的等边三角形，

∴，同理，

，

∴

，

∵EF∥PA，

∴∠FED=θ是异面直线PA与DE所成的角， 在△DEF中，DF2=ED2+EF2-2ED·EFcosθ，

，

∴，

∴DE与PA所成的角为。

如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a．则异面直线PB与AC所成角的正切值等于（

。 ）