异面直线所成的角

∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=∴AA1=

，

，

∴三棱锥A1-ABC的体积V=

S△ABC×AA1=。

如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BB1=DD1于F，交A1D1的延长线于G，求： （Ⅰ）异面直线AD与C1G所成的角的大小； （Ⅱ）二面角A-C1G-A1的正切值。 +1，E为BB1上使B1E=1的点。平面AEC1交解：（Ⅰ）由AD∥D1G知

∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角， 连接C1F，

因为AE和C1F分别是平行平面ABB1A1 和CC1D1D与平面AEC1G的交线， 所以AE∥C1F， 由此可得D1F=BE=再由△FD1G∽△FDA，

，

得D1G=，

在Rt△C1D1G中，

由C1D1=1，D1G=得∠C1CD1=；

（Ⅱ）作D1H⊥C1G于H，连接FH， 由三垂线定理知FH⊥C1G，

故∠D1HF为二面角F-C1G-D1即二面角A-C1G-A1的平面角， 在Rt△GHD1中，

由D1G=，∠D1GH=得D1H=，

从而

。

如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=E=120°， (Ⅰ)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示)； (Ⅱ)证明BC⊥平面SAB； (Ⅲ)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小。 ，∠BAE=∠BCD=∠CD解：（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F， 则∠DCF=∠CDF=60°， ∴△CDF为正三角形， ∴CF=DF， 又BC=DE， ∴BF=EF，

因此，△BFE为正三角形， ∴∠FBE=∠FCD=60°， ∴BE∥CD，

所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角， ∵SA⊥底面ABCDE，且SA=AB=AE=2， ∴SB=

又∠BAE=120°， 所以BE=

，

，

从而，

∴∠SBE=，

所以异面直线CD与SB所成的角为。

（Ⅱ）由题意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°， 所以∠ABE=30°， 又∠FBE=60°， ∴∠ABC=90°，

所以BC⊥BA， ∵SA⊥底面ABCDE，BC∴SA⊥BC， 又SA∩BA=A， ∴BC⊥平面SAB。

底面ABCDE，

（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小为

。

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1，AA1的中点。设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影， （1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线FG1⊥平面FEE1； （3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值。

解：（1）依题作点E、G在平面则连接

则所求为四棱锥

分别为

的中点， ， 的体积，

内的正投影

，