异面直线所成的角

D． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是（ ）。 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC=，PA=2，

求：（1）三棱锥P-ABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）。 解：（1）∵∠BAC=∴S△ABC=×2×

=

，AB=2，

，

，AB=2，又∵PA⊥底面ABC，PA=2

∴三棱锥P-ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=（2）取BC中点E，连接AE、DE， ∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点 ∴DE∥BC，

所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角． ∵在△ADE中，DE=2，AE=AD=2

，

；

∴cos∠ADE==，

可得∠ADE=arccos（锐角）

因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos。

已知正方形

所成角的余弦值为（ ）。

中，

分别为

，

的中点，那么异面直线

与

如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D上有两个动点E、F，且EF=误的是 ，则下列结论中错[ ] A．AC⊥BE B．A1C⊥平面AEF C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE、BF所成的角为定值 三棱柱

与

中，底面边长和侧棱长都相等，

所成角的余弦值为（ ）。

，则异面直线

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分别是棱A1B1、A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为______．

如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点。 （Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD 的体积。

解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形

且

为平行四边形，

是PB与DE的所成角，

中，BF=，PF=，PB=3，

异面直线PB和DE所成角的余弦为；

（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为

，

，

设平面PFB的一个法向量为，

则可得

即

令x=1，得所以

，

，

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，

所以得：解得

，

，

因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1， （1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

（2）若A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1-ABC的体积。 解：（1）∵BC∥B1C1，

∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角）， ∵∠ABC=90°，AB=BC=1， ∴∠ACB=45°，

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°。 （2）∵AA1⊥平面ABC，

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°，

。