异面直线所成的角

由（1）可得，EP⊥PQ，

于是在Rt△EPQ中，

所以二面角A-CD-E的余弦值为。

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE。AB：AD：AA1=1：2：4。

（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2）证明AF⊥平面A1ED； （3）求二面角A1-ED-F的正弦值。

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，

2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），（1）易得

于是

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为（2）易知

；

，于是

因此，AF⊥EA1，AF⊥ED 又EA1∩ED=E， 所以AF⊥平面A1ED； （3）设平面EFD的法向量

则即

不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）

由（2）可知为平面A1ED的一个法向量，于是

从而

所以二面角A1-ED-F的正弦值为。

，C1H⊥平面AA1B1B，且C1如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2H=， （Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值； （Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C，求线段BM的长． 如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点， 依题意，得

，

（Ⅰ）易得

， ，

于是，

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（Ⅱ）易知

设平面AA1C1的法向量

，

。

，

则不妨令

，即，可得

，

，

同样地，设平面A1B1C1的法向量，

则不妨令

，即，可得

，

，

于是，

从而，

所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为。

（Ⅲ）由N为棱B1C1的中点，得，

设M（a，b，0），则由MN⊥平面A1B1C1，

，

得，

即，

解得，故，

因此，

所以线段BM的长为。

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为 [ ] A、 B、 C、D、