异面直线所成的角

由题设可得， ， ， ， 于是在Rt△PHE中，， 所以二面角P-BD-A的大小为． 如图，已知在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为AB的中点。 （1）求直线B1C与DE所成角的余弦值； （2）求证：平面EB1D⊥平面B1CD； （3）求二面角E-B1C-D的余弦值。 解：（1）如图，连接A，D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成的角即为A1D与DE所成的角，

连接A1E，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则

∴

∴直线B1C与DE所成角的余弦值是。

（2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连接BF，EG，GF ∵CD⊥平面BCC1B1，且BF∴CD⊥BF

又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C， ∴BF⊥平面B1CD 又∵∴

平面BCC1B1，

∴四边形BFGE是平行四边形， ∴BF∥GE， ∴GE⊥平面B1CD ∵GE

平面EB1D，

∴平面EB1D⊥平面B1CD。 （2）连接EF

∵CD⊥B1C，GF∥CD， ∴GF⊥B1C

又∵GE⊥平面B1CD， ∴EF⊥B1C，

∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角，

设正方体的棱长为a，则在△EFC中，∴

∴二面角E-B1C-D的余弦值。

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是 [ ] A. B. C. D.

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。 （1）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （2）证明平面AMD⊥平面CDE； （3）求二面角A-CD-E的余弦值。 解：（1）由题设知，BF∥CE，

所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角， 设P为AD的中点，连结EP、PC

因为所以同理

又FA⊥平面ABCD， 所以EP⊥平面ABCD

而PC、AD都在平面ABCD 内，故EP⊥PC，EP⊥AD 由AB⊥AD，可得PC⊥AD 设FA=a，则EP=PC=PD=a，故∠CED= 60°

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°； （2）因为DC=DE且M为CE的中点， 所以DM⊥CE．连结MP，则MP⊥CE 又MP∩DM =M， 故CE⊥平面AMD 而CE

平面CDE，

所以平面AMD⊥平面CDE；

（3）设Q为CD的中点，连结PQ、EQ 因为CE=DE， 所以EQ⊥CD 因为PC=PD， 所以PQ⊥CD，

故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角