[四维备课]高中数学《平面向量的数量积》教学设计新人教A版必修

2.4《平面向量的数量积》教学设计

【教学目标】

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：

??1．向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，??使b=λa.

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj.

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x,y). 4．平面向量的坐标运算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，

??uura?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?

???5．a∥b (b?0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ， 使 P2，λ叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：1P=λPP

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式：

若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且P2，则点P的坐标为1P＝λPP（

x1??x2y1??y2），我们称λ为点P分P,1P2所成的比.

1??1??8. 点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，P2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点. 1P与PP②当λ＜０(???1)时，P2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点. 1P与PP9.线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ， 可得OP=

a??b1??a?b.

1??1??1??夹角.

10．力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的新授课阶段

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与

ｂ的夹角.

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝

?时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0.

（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c

a = c

如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|

? a?b = b?c 但a ? c

(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0

3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|或|a|?2

a?a

4? cos? =

a?b

|a||b|5? |a?b| ≤ |a||b|

例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60求(a+2b)·(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝

２

o

o

ｂ２.

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.

则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），

∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.

解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，