课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n项和(重点高中)

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课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前n项和

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝( )

A．36 C．144

B．72 D．288

解析：选B 法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2， 9×833

∴d＝，∴S9＝9×2＋×＝72.

222法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14， 9?a1＋a9?∴S9＝＝72.

2

2．(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4

＋a5＝23，则S8＝( )

A．72 C．92

B．88 D．98

解析：选C 法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故数列{an}是公差为3的等8×7差数列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.

2

法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝8?a1＋a8?8?a4＋a5?

＝＝92. 22

3．(2018·东北四市高考模拟)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )

A．9 C．18

B．15 D．30

解析：选C 由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.

4.(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E

1

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每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E所得为( )

2

A.钱 35C.钱 6

4B.钱 33D.钱 2

解析：选A 由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得

??5a－10d＝5，22

为a－d，E所得为a，则?解得a＝，故E所得为钱．

33

??2a－7d＝3a－3d，

3an5．(2018·云南11校跨区调研)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝( )

an＋33A. 44C. 3

1

B．1 3D. 2

an＋3111?1?1111

解析：选A 依题意得＝＝a＋，－a＝，故数列?a?是以＝为首项、

3an＋1n3a13?n?nan＋13an

111n－1n33

为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，a4＝.

an3n3334

6．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. 6×?6－1?

∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.

2答案：6

1

7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝

2________.

解析：因为S100＝

1009(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝， 210

2

a1＋a99＝a1＋a100－d＝，

5则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝答案：10

2

50502

(a1＋a99)＝×＝10. 225

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8.(2018·广东深圳中学月考)已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n＝________.

??a3＝7，解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得?故d＝a4－a3＝－2，an＝a3

??2a4＝10，

＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an>0，得n<6.5.所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.

答案：6

9．(2018·广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log4an＋1，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝2－1＝1，满足an＝2n－1， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)． n＋1

(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝，

2n＋2n＋11

则bn＋1－bn＝－＝，

222

1

∴数列{bn}是首项为1，公差d＝的等差数列，

2n?n－1?n2＋3n

∴Tn＝nb1＋d＝.

24

2

10.设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是an和an的

等差中项．

(1)证明：数列{an}为等差数列；

(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值． 解：(1)证明：由已知可得2Sn＝a2n＋an，且an>0， 当n＝1时，2a1＝a21＋a1，解得a1＝1. 当n≥2时，有2Sn－1＝a2n－1＋an－1，

2所以2an＝2Sn－2Sn－1＝a2n－an－1＋an－an－1， 2所以a2n－an－1＝an＋an－1，

3

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即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)． 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知an＝n，设cn＝an·bn，

525

n－?2＋， 则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－??2?4

因为n∈N*，当n＝2或n＝3时，{an·bn}的最大项的值为6. B级——拔高题目稳做准做

1.设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )

A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5

D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值

解析：选C 由S50.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确；∵d＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误；∵S5S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．选C.

2.若数列{an}满足的项数为( )

A．90 C．60

an＋1

anB．80 D．40

an＋1

an＋1an－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前200项中，能被5整除2n＋52n＋3

ana1解析：选B 数列{an}满足－＝1，即－＝1，又＝1，

2n＋52n＋32?n＋1?＋32n＋32×1＋3

??an??an∴数列?2n＋3?是以1为首项，1为公差的等差数列，∴＝n，∴an＝2n2＋3n，列表如下：

??2n＋3??

项 an的个位数 1 5 2 4 3 7 4 4 4

5 5 6 0 7 9 8 2 9 9 10 0