2013考研数学复习全程指南 - 图文

A.积分计算

B.积分性质

C.积分的应用1.?dxx(4?x)??dxarcsinx?2?C

4?(x?2)2?22.?e2x(tanx?1)2dx??e2xsec2xdx?2?e2xtanxdx?e2xtanx?C 3.设f(lnx)?ln(1?x)x，求?f(x)dx

x解：?f(x)dx??ln(1?e)exdx

?e?xln(1?ex)??(1?ex1?ex)dx?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C

4.??arctanx1b1x?1x2dx??xarctanx|?1?limb????1(x?1?x2)dx?4?12ln2

5.f(x)连续，?(x)??10f(xt)dt,且limf(x)x?A，求?(x)并讨论

x??0?'(x)在x?0的连续性。

解：)dyf(0)??(0)?0,y?xt??(x)??x0f(yx

xf(x)?xy)dy?'(x)??0f(x2??'(0)?A2?lim?x??0'(0)?A/2??'(0)

6.

dx22??d?x2222dx?0tf(x?t)dt2dx0f(x?t)d(t?x)

2 ?d)d(y)?xf(x22dx?x0f(y)

7.设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x)?0，且

xf'(x)?f(x)?3a2x2，又f(x)与x=1,y=0所围面积S=2。求

f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。

解：d(f(x)2dxx)?3a2?f(x)?3a2x?cx??10f(x)dx?2?c?4?a ?f(x)?3ax22?(4?1)x?V'?(??120ydx)'?0?a??5

8.曲线y?x?1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴

所围图形绕x轴旋转的表面积。

解：切线y?x/2绕x轴旋转的表面积为?2?yds?5?

02 曲线y?x?1绕x轴旋转的表面积为?2?yds?12?6(55?1)

总表面积为

三、补充习题（作业） 1.?2.?3.?lnsinxsin22?6(115?1)

xdx??cotxlnsin2x?cotx?x?Cdx

x?5x?6x?13

arcsinxxdx

第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）

了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示

2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质

理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分

熟练掌握复合函数与隐函数求导法

3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法

会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

二、题型与解法 A.求偏导、全微''''2x?zyy?ez，1.f(x)有二阶连续偏导，z?f(exsiny)满足zxx分

求f(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1eu?c2e?u 2.z?1xf(xy)?y?(x?y)，求?z?x?y2

3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0决定，求dz/dx

B.空间几何问题

4.求x?距之和。

y?z?a上任意点的切平面与三个坐标轴的截

解：x/x0?y/y0?z/z0?a?d?a

5.曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,2)处的法线方程。

C.极值问题

6.设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点与极值。

三、补充习题（作业） 1.z?f(xy,)?g(),求yxxy?z?x?y2

2.z?f(xy,xy?z ?g()),求yx?xx?y,??arctan223.z?u?,u?lnyx,求dz

第五讲 多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

??D?bdxy2(x)f(x,y)dy?y1(x)??a f(x,y)dxdy???2r2(?)f(r,?)rdr??d??r1(?)??1by2(x)z2(x,y)?dxdy?a?y1(x)?z1(x,y)f(x,y,z)dz?z2?2(z)r2(z,?)?f(x,y,z)dxdydz???z1dz??1(z)d??r1(z,?)f(r,?,z)rdr

???2(?)r2(?,?)2d??f(r,?,?)rsin?dr??d???1(?)r1(?,?)?????V会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转

动惯量）

z?f(x,y)?A???D1?z'x?z'ydxdy22

2.曲线积分

理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

b2?L:y?y(x)??f(x,y(x))1?y'xdxa????x?x(t)22f(x,y)dl??L:???f(x(t),y(t))x't?y'tdt

??y?y(t)??L:r?r(?)??f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?????L熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分

理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

?????Gauss:??E?dS??????EdV(通量，散度）SV????Stokes:?F?dr???(??F)?dS(旋度）LSS:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???Dxyf(x,y,z(x,y))1?z'x?z'ydxdy22

二、题型与解法 A.重积分计算

B.曲线、曲面积分 1.I????22?(x?y)dV,?为平面曲线??y2?2z绕z轴旋转一周与

?x?0z=8的围域。 解：I??8222z21024?0dz??x2?y2?2z(x?y)dxdy??80dz?2?0d??0rrdr?3222.I???x?yD222dxdy,D为y??a?a2?x2(a?0)与

4a?x?yy??x围域。（I?a2(?216?12)

3.

f(x,y)???x2y,1?x?2,0?y?x， ?0,其他求??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x (49/20)

4.I??(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

L L从A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0) 解：令L1从O沿y?0至A I???????(b?a)dxdy??2a0(?bx)dx?(??2)a2b??L?L1L1D22a3

5.I??xdy?ydxL4x2?y2,L为以(1,0)为中心，R(?1)为半径的圆周正向。解：取包含(0,0)的正向L1:?2x?rcos???y?rsin?，

???L??L1?0??L??L1??

L?L16.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，