2013考研数学复习全程指南 - 图文

三、补充习题（作业） 1.lime?1?x1?x?cos1sinx?t2xx??0x1x)

??3 （洛必达）

2.limctgx(x??0? （洛必达或Taylor）

3.limx?e0xdt2x??01?e?x?1 （洛必达与微积分性质）

第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图

会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的计基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 算

dyx?arctant1.y?y(x)由?决定，求 2t??2y?ty?e?5dx2.y?y(x)由ln(x2?y)?x3y?sinx决定，求

dydx|x?0?1

解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=1 3.y?y(x)由2xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx

B.曲线切法线问?/24.求对数螺线??e?在（?，?）?（e,?/2)处切线的直角坐标

题

方程。

???x?ecos??/2解：?,(x,y)|???/2?(0,e),y'|???/2??1 ???y?esin?y?e?/2??x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。

解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0

limf(1?sinx)?3f(1?sinx)sinxf(1?t)?f(1)tt??0x??0sinx?t?lim[?3f(1?t)?f(1)t]

?4f'(1)?8?f'(1)?2?y?2(x?6)C.导数应用问题

2?xD.幂级数展开问

题

6.已知y?f(x)对一切x满足xf''(x)?2x[f'(x)]?1?e，

若f'(x0)?0(x0?0)，求(x0,y0)点的性质。

解：令x?xex0?1??0,x00代入，f''(x0)?ex??00x?，故为极小值点。 0??0,x0?0x37.y?(x?1)2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：定义域x?(??,1)?(1,??)

y'?0?驻点x?0及x?3y''?0?拐点x?0；x?1：铅垂；y?x?2：斜

8.求函数y?(x?1)e?/2?arctanx的单调性与极值、渐进线。 2解

：

y'?x?x/2?arctanx1?x2e??驻点x?0与x??1，

渐：y?e?(x?2)与y?x?2

9.dx2dx?0sin(x?t)dt?sinx2

(2n?1)sin(x?t)2?(x?t)2?16n3!(x?t)?????(?1)(x?t)2(2n?1)!????2314n?1?sin(x?t)dt??17n?1(x?t)3(x?t)?3!7(x?t)?????(?1)(4n?1)(2n?1)!?xsin(x?t)2?1317nx4n?103x?3!7x?????(?1)(4n?1)(2n?1)!????dxt)2dt?x2?1x6?????(?1)nx2(2n?1)2dx?0sin(x?3!(2n?1)!?????sinx

或：x?t?u?d02dx?xsinu(?du)?ddx?x0sinu2du?sinx2

E.不等式的证明F.中值定理问题

10.求f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0)

解：x2ln(1?x)?x2(x?x2n?22?x33?????(?1)n?1xn?2n?2?o(x)

x45n=

x3?n2?x3?????(?1)n?1xn?2?o(x)

?f(n)(0)?(?1)n?1n!n?2

11.设x?(0,1)，

求证（1?x)ln2(1?x)?x2，1111ln2?1?ln(1?x)?x?2

证：1）令g(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2,g(0)?0

g'(x),g''(x),g'''(x)??2ln(1?x)(1?x)2?0,g'(0)?g''(0)?0 ?x?(0,1)时g''(x)单调下降，g''(x)?0,g'(x)单调下降

g'(x)?0,g(x)单调下降，g(x)?0；得证。 2）令h(x)?11ln(1?x)?x,x?(0,1),h'(x)?0,单调下降，得证。

12.设函数f(x)在[?1，1]具有三阶连续导数，且f(?1)?0,f(1)?1，

f'(0)?0，求证：在（-1，1）上存在一点?，使f'''(?)?3

证：f(x)?f(0)?f'(0)x?12!f''(0)x2?13!f'''(?)x3

其中??(0,x),x?[?1,1]

0?f(?1)?f(0)?12f''(0)?16f'''(?1)将x=1，x=-1代入有

1?f(1)?f(0)?11

2f''(0)?6f'''(?2)两式相减：f'''(?1)?f'''(?2)?6

???[?1，?2]，?f'''(?)?12[f'''(?1)?f'''(?2)]?3

13.e?a?b?e2，求证：ln2b?ln2a?4e2(b?a)

证：Lagrange:f(b)?f(a)b?a2?f'(?)

2令f(x)?lnx,lntt2lnb?lnb?a2a?2ln??

ln?2e2令?(t)?ln2,?'(t)?4e21?lntt2?0??(?)??(e)?2??

b?lna?(b?a) （关键：构造函数）

三、补充习题（作业） 1.f(x)?ln1?x1?x2,求y''(0)??32

t??x?esin2t2.曲线?在(0,1)处切线为y?2x?1?0t??y?ecos2t

3.y?xln(e?)(x?0)的渐进线方程为x1y?x?1e4.证明x>0时(x2?1)lnx?(x?1)2

证：令g(x)?(x?1)lnx?(x?1),g'(x),g''(x),g'''(x)? g(1)?g'(1)?0，g''(1)?2?0

x?(0,1),g'''?0,g''?2??x?(0,1),g'?0?g''?0??g?0??x?(1,??),g'''?0,g''?2??x?(1,?),g'?0222(x?1)x32

第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）

会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）

2.定积分 理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法