2019年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷(解析版)

同理得：△ABD≌△CBD（ASA），

∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2×AB×DH＝3（3+综上所述：S＝6+4

（3）如图，过D作MN∥BC交BA延长线于点M，且CN⊥MN，过D作DH⊥BC于H，

或9+3

；

）＝9+3

；

∵AC是“美妙四边形”ABCD的“美妙线”， ∴AC平分∠BAD、∠BCD， ∴∠B＝∠ADC＝90°， 由题意，得∠M＝∠N＝90°， ∠MDA+∠MAD＝90°， ∠MDA+∠CDN＝90°， ∴∠MAD＝∠CDN， ∴△MDA∽△NCD， ∴

＝，

设AM＝3x，则DN＝4x，MD＝4﹣4x，CN＝3x+3， ∴

，x＝

，

，即D到BC的距离是

．

∴DH＝CN＝3x+3＝

【点评】本题考查四边形综合题、全等、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、新定义：“美妙四边形”“美妙线”的理解和运用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

28．【分析】（1）先根据等边三角形得：∠AOB＝60°，则根据圆周角定理可得：∠AP1B＝30°； （2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC＝90°，则所对的圆周角都是45°；

（3）先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH内部时符合条件； （4）先确定⊙O，根据圆周角定理正确画出∠BPC＝135°，利用勾股定理求OF的长，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．

【解答】解：（1）∵OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°，

由图②得：∠AP1B＝∠AOB＝30°；

（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F， ②作BC的中垂线，连接EC，交于O， ③以O为圆心，OE为半径作圆， 则

上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；

（3）如图④，同理作⊙O， ∵BE＝BC＝2， ∴CE＝2

，

，即OE＝OG＝

，

∴⊙O的半径为∵OG⊥EF， ∴EH＝1， ∴OH＝1， ∴GH＝

﹣1，

∴BE≤AB＜MB， ∴2≤m＜2+

﹣1，即2≤m＜

+1；

上取一点H，则∠CHB＝45°

+1，

故答案为：2≤m＜

（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝90°，在优弧∴∠CPB＝135°，

由旋转得：△APQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝

AP，

∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，

当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，

在Rt△AFO中，AF＝1，OF＝3+1＝4， ∴AO＝∴AE＝∴PQ＝

﹣AP＝

＝

，

＝AP， （

﹣

）＝

﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题是圆的综合题，也是阅读材料问题，运用类比的思想依次解决问题，本题熟练掌握

圆周角定理是关键，是一道不错的几何压轴题．