2019-2020学年山东省泰安市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)

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则A（0，0），C（0，8），

设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0）， 则点B（2，4a）， 又|BC|=

=2

，

解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）； ∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]； 又

x2=x3

=，

∴此曲边三角形ABC地块的面积为 S梯形ACBM﹣

x2=×（8+4）×2﹣=

；

（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2）， 直线BC的方程为：2x+y﹣8=0， ∴E（x，8﹣2x），

|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2， 直角梯形CEDF的面积为

S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2）， 求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，

令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）； 当x∈（0，）时，S（x）单调递增， x∈（，2）时，S（x）单调递减， ∴x=时，S（x）取得最大值是

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S（）=﹣﹣+8×=

．

；

∴科技园区面积S的最大值为

20．已知椭圆C：（Ⅰ）求椭圆C的方程；

的右顶点A（2，0），且过点

（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1?k2为定值． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点

，解方程可得椭圆方程；

（Ⅱ）设过点B（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），由

，可得（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12

﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB的斜率k2=﹣【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，a2﹣b2=c2， 解得b=1， 即有椭圆方程为

+y2=1；

，由此能证明k?k′为定值﹣．

+=1，

（Ⅱ）证明：设过点B（1，0）的直线l方程为：y=k1（x﹣1）， 由

，

可得：（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，

因为点B（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交， 即△＞0恒成立．

设点E（x1，y1），F（x2，y2）， 则x1+x2=

，x1x2=

．

因为直线AE的方程为：y=（x﹣2），

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直线AF的方程为：y=（x﹣2），

令x=3，得M（3，），N（3，），

所以点P的坐标（3，（+））．

直线PB的斜率为k2=

=（+）

=?=?

=?=﹣．

所以k1?k2为定值﹣．

21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1 （Ⅰ）求a的值 （Ⅱ）若

，证明：当x＞1时，

．

（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；

（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；

（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：

．运

用转化思想可令H（x）=（x+1）?e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a， 在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1， 可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，

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解得a=t=1；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）=lnx+x， 要证当x＞1时，

即证lnx＞k（1﹣）﹣1（x＞1）， 即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，

可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k， 由

，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，

，

即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增， 可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0， 故当x＞1时，

恒成立；

（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b， 假设存在正数x0，使得：

．

由ef（x0+1）﹣2x0﹣1+x02=eln（x0+1）﹣x0+x02=（x0+1）?e﹣x0+x02． 即对于b∈（0，1），存在正数x0，使得（x0+1）?e﹣x0+x02﹣1＜0， 从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．

令H（x）=（x+1）?e﹣x+x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）?e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x）， 令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb， 则x=﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．

故H（x）的最小值为H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）elnb+ln2b﹣1=ln2b﹣blnb+b﹣1， 再令G（x）=ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1）， G′（x）=（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1=ln2x＞0，

则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣lnb）＜0． 故存在正数x0=﹣lnb，使得

．

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