数列难题汇编

13、（2000年广东高考题）设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n?1－na2n+an+1an=0

(n=1,2,3,……)，则它的通项公式是an= 。

（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1, bn=f??求数列{bn}的通项公式。

（3）求和Sn=b1b2－b2b3+b3b4－…+(－1)n－1bnbn+1 12、设数列{an}的首项a1=1, 前n项和Sn满足关系式。

3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(其中t>0, n=2,3,4,…) （1）求证：数列{an}是等比数列。 11、已知x1>0，x1≠1且xn+1=

xn(xn?3)3xn?122?1??(n=2,3,4…) ??bn?1?(n=1,2, …)

试证：xnxn+1(n=1,2,…)

2Sn10、数列的前n项的和Sn，满足关系式an=(n≥2且a1=3)，求an.

Sn?26、数列{an}中，a1=2, aa?1?an，则an= 。 an?3在数列{an}中，a1=1, a2=3，且an+1=4an－3an－1，求an. 数列{an}和{bn}适合下列关系式an=5an－1－6bn－1

bn=3an－1－4bn－1，且a1=a, b1=b，求通项an和bn。 在数列{an}中，，a1=1, a2=2，三个相邻项an, an+1, an+2，当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列。

（1）求an （2）求a1到a2n的和

5、在数列{an}中，a1=2, an+1=an+2n(n∈N*)，则a100= .

5、等差数列{an}中，a3=2, a8=12，数列{bn}满足条件b1=4, an+bn=bn－1，那么数列{bn}的通项公式bn= .

设数列{an}满足关系式：a1=－1, an=an?1?3(n?2,n?N*) 试证：（1）bn=lg(an+9)是等差数列

（2）试求数列{an}的通项公式。

19(2?38)，试求m 36112111、等差数列{an}，设bn?()an，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求数列{an}的

28823 （3）若数列{an}的第m项的值am?通项公式。 10、已知Rt△ABC中，∠C=Rt∠,∠A, ∠B, ∠C所对的边分别是a, b, c，且a, b, c成等差数列，求tanA+tanB的值。

2、在等差数列{an}中，已知a2－a3－a7－a11－a13+a16=8，则a9的值为

已知数列{an}首项a1>1，公比q>0的等比数列，设bn=log2an(n∈N*)，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0，记{bn}的前n项和为Sn，当

SS1S2????n最大时，求n的值。 12nSn1?an成立，试证n2若数列{an}的前n项之和为Sn，且满足lg(Sn+1)=n，求证：数列{an}是等比数列。 已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的自然数n，均有

明数列{an}为等差数列。

已知数列{an}中，a1=3，对于n∈N，以an, an+1为系数的一元二次方程anx2－

2an+1x+1=0都有根α，β且满足（α－1）（β－1）=2。 （1）求证数列{an－}是等比数列。

（2）求数列{an}的通项公式。 已知a、b、c是成等比数列的三个正数，且公比不等于1，试比较a+c与2b，a2+c2

与2b2、a3+c3与2b3，…的大小，由此得出什么一般性结论？并证明之。

（2003年全国高考题）已知数列{an}满足a1=1，an=3n－1+an－1(n≥2)

3n?1 （1）求a2, a3; （2）证明an?

21312、有四个数a1, a2, a3, a4，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a1+a4, a2+a3是方程x2－21x+108=0的两根，a1+a4>a2+a3，求这四个数。 已知{an}是等比数列

（1）若m+n+=l+k，则am2an与alak有何关系？ （2）若l?m?n，则al与am、an有何关系？ 211、

（3）若an>0, a6a8+2a6a10+a8a10=36，求a7+a9的值。

若在两个正数a, b中间插入两个数，使它们成等比数列，则公比为q1；若在a, b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q1, 那么q1与q2的关系是 4、在等比数列该数列{an}中，公比为q（q≠±1），则数列a2, a4, a6, …，a2n的前n项和Tn为：

若等比数列{an}的前n项之和为A，前n项之积为B，各项倒数的和为C，求证：

AnB?n。

C2已知数列{an}满足a1=4, an=4?4an?1(n?2)，令bn?1。 an?2 （1）求证数列{bn}是等差数列。（2）求数列{an}的通项公式

(3)若b32b5=39，a4+a6=3，求b12b22b3…bn的最大或最小值。 （2）若a8+a13=m， 求b12b22b32…b20

12、已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=3ax(n∈N*) （1）判断{an}是何种数列，并给出证明。 11、已知数列{an}中，an??

??2n?1(n为奇数?，试求数列{an}的前n项之和Sn. n??3?n为偶数?

10、设Sn是等差数列{an}前n项的和，已知S3与S4的等比项中为S5，S3

与S4的等

差中项为1，求an。

8、数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555，…的前n项之和为 。 6、在等差数列{an}中，d≠0，S20=10A，则A的值： 4、数列{(－1)nn}的前2k－1项之和S2k－1(k∈N*)为：

2221、在数列{an}中，Sn为其前n项之和，且Sn=2n－1，则a12?a2等于： ?a3???an13141513142、等差数列{an}前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 求在区间[a, b]（b>a, a, b∈N*）上分母是3的不可约分数之和。

已知a>0, a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=nanlga(n∈N*)

（1）求数列{bn}的前n项和Sn；

（2）若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。

－

数列{an}对一切自然数n都满足a1+2a2+22a3+…+2n1an=9－6n

n?（1）求{an}的通项公式。 （2）若bn=an|sin|，求证：b1+b2+…+b2n－1>1

2设{an} 是由正数组成的等比数列，它的前n项和为Sn，试比较logbSn+logbSn+2与2logbSn+1的大小。

求数列1，3x, 5x2, …，(2n－1)xn－1前n项的和。 13、（2000年全国高考题）设{an}为等比数列，Tn=na1+(n－1)a2+…+2an－1+an，已知T1=1, T2=4。

（1）求数列{an}的首项和公式。 （2）求数列{Tn}的通项公式。

1. 设数列{an}的前n项和Sn=na＋n（n-1）b（n=1、2，…）a、b是常数，且b?0． （1）证明{an}是等差数列．

Sn（2）证明以（an，n-1）为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并写出此直线的

方程。

111????n，是否存在g(n)使等式f(1)＋f(2)…＋f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)2.设f(n)=1+23对n≥2的一切自然数都对立，并证明你的结论。

3.已知一个圆内有n条弦，这n条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条

121f(n)=n+n+122不共点，试证：这n条弦将圆面分割成个区域。

4. 已知数列{an}满足条件：a1=1，a2=r，(r>0)且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列，

设bn=a2n-1＋a2n(n=1，2，…)，

(1)求出使不等式anan+1＋an+1an+2>an+2an+3(n?N)成立的q的取值范围；

1n??Sn，其中S=b＋b＋…＋b； (2)求bn和n12n

limlog2bn+11(3)设r=219.2-1，q=2，求数列{log2bn}的最大项与最小项的值。 5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0. (Ⅰ)求公差d的取值范围；

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由. 6. 有两个无穷的等比数列{

an}和{bn},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项

2a和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有n?bn,试求这两个数列的首项和公

比.

7. 已知数列{

an}的前n项和

Sn?113n(n＋1)(n＋2),试求数列{an}的前n项和.

8. 有两个各项都是正数的数列{

an},{bn}.如果a=1,b=2,a=3.且an,bn,an?1成等差

112

ab数列, bn,n?1,n?1成等比数列,试求这两个数列的通项公式. 9. 数列{

an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开

始变为负的，回答下列各问：

(1)求此等差数列的公差d; (2)设前n项和为(3)当

Sn,求Sn的最大值;

Sn是正数时,求n的最大值.

xn,…的第r项为t,而第t项为r,(0＜r＜t),试求x1

10. 已知等差数列lgx1,lgx2,…,lg＋x2＋…＋

xn.

11.已知数列{

an}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设

aix2?2ai?1x?ai?2=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：

(1)求所有这些方程的公共根;

1111

m(2)设这些方程的另一个根为i,求证m1?1,m2?1,m3?1,…, mn?1,…也成等

差数列.

12.已知圆C：x2＋(y－1)2=1和圆C1：(x－2)2＋(y－1)2=1,现在构造一系列的圆C1,C2,C3,…,Cn…,使圆

Cn?1与Cn和圆C都相切,并都与OX轴相切.回答：